Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14534 / 22233
↖ ↑ ↗
← S 53.910810°
W 20.324707°		 ← 719.60 m → S 53.910810°
W 20.313721°		 →
↑
719.54 m
↓
↑
719.54 m
↓
S 53.917281°
W 20.324707°		 ← 719.49 m →
517 741 m²		 S 53.917281°
W 20.313721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443557739257812 y=0.678512573242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443557739257812 × 215)
    floor (0.443557739257812 × 32768)
    floor (14534.5)     		tx = 14534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678512573242188 × 215)
    floor (0.678512573242188 × 32768)
    floor (22233.5)     		ty = 22233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14534 / 22233 ti = "15/14534/22233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14534/22233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14534 ÷ 215
    14534 ÷ 32768     		x = 0.44354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22233 ÷ 215
    22233 ÷ 32768     		y = 0.678497314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.1129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35473306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678497314453125 × 2 - 1) × π
    -0.35699462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.12153170351083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35473306} λ = -0.35473306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12153170351083))-π/2
    2×atan(0.325780413265824)-π/2
    2×0.314937594186912-π/2
    0.629875188373823-1.57079632675     		φ = -0.94092114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35473306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.324707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94092114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.910810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14534 KachelY 22233 -0.35473306 -0.94092114 -20.324707 -53.910810
    Oben rechts KachelX + 1 14535 KachelY 22233 -0.35454131 -0.94092114 -20.313721 -53.910810
    Unten links KachelX 14534 KachelY + 1 22234 -0.35473306 -0.94103408 -20.324707 -53.917281
    Unten rechts KachelX + 1 14535 KachelY + 1 22234 -0.35454131 -0.94103408 -20.313721 -53.917281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94092114--0.94103408) × R
    0.00011293999999995 × 6371000     		dl = 719.540739999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94092114--0.94103408) × R
    0.00011293999999995 × 6371000     		dr = 719.540739999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35473306--0.35454131) × cos(-0.94092114) × R
    0.000191749999999991 × 0.58904390085046 × 6371000     		do = 719.599149251994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35473306--0.35454131) × cos(-0.94103408) × R
    0.000191749999999991 × 0.588952630162995 × 6371000     		du = 719.487649397814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94092114)-sin(-0.94103408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58904390085046-0.588952630162995)×R²
    abs(-0.35454131--0.35473306)×9.12706874641733e-05×R²
    0.000191749999999991×9.12706874641733e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.12706874641733e-05×40589641000000     		ar = 517740.790562946m²