Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14532 / 22230
↖ ↑ ↗
← S 53.891391°
W 20.346680°		 ← 719.93 m → S 53.891391°
W 20.335693°		 →
↑
719.86 m
↓
↑
719.86 m
↓
S 53.897865°
W 20.346680°		 ← 719.82 m →
518 211 m²		 S 53.897865°
W 20.335693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443496704101562 y=0.678421020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443496704101562 × 215)
    floor (0.443496704101562 × 32768)
    floor (14532.5)     		tx = 14532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678421020507812 × 215)
    floor (0.678421020507812 × 32768)
    floor (22230.5)     		ty = 22230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14532 / 22230 ti = "15/14532/22230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14532/22230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14532 ÷ 215
    14532 ÷ 32768     		x = 0.4434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22230 ÷ 215
    22230 ÷ 32768     		y = 0.67840576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.113037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35511655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67840576171875 × 2 - 1) × π
    -0.3568115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12095646071539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35511655} λ = -0.35511655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12095646071539))-π/2
    2×atan(0.325967870012853)-π/2
    2×0.315107055198405-π/2
    0.63021411039681-1.57079632675     		φ = -0.94058222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35511655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94058222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.891391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14532 KachelY 22230 -0.35511655 -0.94058222 -20.346680 -53.891391
    Oben rechts KachelX + 1 14533 KachelY 22230 -0.35492480 -0.94058222 -20.335693 -53.891391
    Unten links KachelX 14532 KachelY + 1 22231 -0.35511655 -0.94069521 -20.346680 -53.897865
    Unten rechts KachelX + 1 14533 KachelY + 1 22231 -0.35492480 -0.94069521 -20.335693 -53.897865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94058222--0.94069521) × R
    0.000112989999999979 × 6371000     		dl = 719.859289999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94058222--0.94069521) × R
    0.000112989999999979 × 6371000     		dr = 719.859289999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35511655--0.35492480) × cos(-0.94058222) × R
    0.000191749999999991 × 0.589317748617236 × 6371000     		do = 719.933692432414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35511655--0.35492480) × cos(-0.94069521) × R
    0.000191749999999991 × 0.589226460082073 × 6371000     		du = 719.822170774783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94058222)-sin(-0.94069521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589317748617236-0.589226460082073)×R²
    abs(-0.35492480--0.35511655)×9.12885351638248e-05×R²
    0.000191749999999991×9.12885351638248e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.12885351638248e-05×40589641000000     		ar = 518210.817282137m²