Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14525 / 22450
↖ ↑ ↗
← S 55.291629°
W 20.423584°		 ← 695.60 m → S 55.291629°
W 20.412598°		 →
↑
695.52 m
↓
↑
695.52 m
↓
S 55.297884°
W 20.423584°		 ← 695.49 m →
483 768 m²		 S 55.297884°
W 20.412598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443283081054688 y=0.685134887695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443283081054688 × 215)
    floor (0.443283081054688 × 32768)
    floor (14525.5)     		tx = 14525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685134887695312 × 215)
    floor (0.685134887695312 × 32768)
    floor (22450.5)     		ty = 22450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14525 / 22450 ti = "15/14525/22450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14525/22450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14525 ÷ 215
    14525 ÷ 32768     		x = 0.443267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22450 ÷ 215
    22450 ÷ 32768     		y = 0.68511962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443267822265625 × 2 - 1) × π
    -0.11346435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35645879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.3702392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16314093238104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35645879} λ = -0.35645879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16314093238104))-π/2
    2×atan(0.312503086710444)-π/2
    2×0.302887680464577-π/2
    0.605775360929154-1.57079632675     		φ = -0.96502097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35645879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.423584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96502097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.291629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14525 KachelY 22450 -0.35645879 -0.96502097 -20.423584 -55.291629
    Oben rechts KachelX + 1 14526 KachelY 22450 -0.35626704 -0.96502097 -20.412598 -55.291629
    Unten links KachelX 14525 KachelY + 1 22451 -0.35645879 -0.96513014 -20.423584 -55.297884
    Unten rechts KachelX + 1 14526 KachelY + 1 22451 -0.35626704 -0.96513014 -20.412598 -55.297884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96502097--0.96513014) × R
    0.000109169999999992 × 6371000     		dl = 695.522069999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96502097--0.96513014) × R
    0.000109169999999992 × 6371000     		dr = 695.522069999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35645879--0.35626704) × cos(-0.96502097) × R
    0.000191750000000046 × 0.569399637821557 × 6371000     		do = 695.600946498766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35645879--0.35626704) × cos(-0.96513014) × R
    0.000191750000000046 × 0.56930989004491 × 6371000     		du = 695.491307092213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96502097)-sin(-0.96513014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569399637821557-0.56930989004491)×R²
    abs(-0.35626704--0.35645879)×8.97477766473864e-05×R²
    0.000191750000000046×8.97477766473864e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.97477766473864e-05×40589641000000     		ar = 483767.682370042m²