Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14523 / 22435
↖ ↑ ↗
← S 55.197683°
W 20.445557°		 ← 697.25 m → S 55.197683°
W 20.434570°		 →
↑
697.18 m
↓
↑
697.18 m
↓
S 55.203953°
W 20.445557°		 ← 697.14 m →
486 067 m²		 S 55.203953°
W 20.434570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443222045898438 y=0.684677124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443222045898438 × 215)
    floor (0.443222045898438 × 32768)
    floor (14523.5)     		tx = 14523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684677124023438 × 215)
    floor (0.684677124023438 × 32768)
    floor (22435.5)     		ty = 22435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14523 / 22435 ti = "15/14523/22435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14523/22435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14523 ÷ 215
    14523 ÷ 32768     		x = 0.443206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22435 ÷ 215
    22435 ÷ 32768     		y = 0.684661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443206787109375 × 2 - 1) × π
    -0.11358642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35684228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.36932373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16026471840384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35684228} λ = -0.35684228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16026471840384))-π/2
    2×atan(0.31340320630411)-π/2
    2×0.303707506527059-π/2
    0.607415013054118-1.57079632675     		φ = -0.96338131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35684228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.445557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96338131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.197683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14523 KachelY 22435 -0.35684228 -0.96338131 -20.445557 -55.197683
    Oben rechts KachelX + 1 14524 KachelY 22435 -0.35665053 -0.96338131 -20.434570 -55.197683
    Unten links KachelX 14523 KachelY + 1 22436 -0.35684228 -0.96349074 -20.445557 -55.203953
    Unten rechts KachelX + 1 14524 KachelY + 1 22436 -0.35665053 -0.96349074 -20.434570 -55.203953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96338131--0.96349074) × R
    0.000109429999999966 × 6371000     		dl = 697.178529999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96338131--0.96349074) × R
    0.000109429999999966 × 6371000     		dr = 697.178529999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35684228--0.35665053) × cos(-0.96338131) × R
    0.000191749999999991 × 0.570746772111218 × 6371000     		do = 697.246658621835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35684228--0.35665053) × cos(-0.96349074) × R
    0.000191749999999991 × 0.570656912861616 × 6371000     		du = 697.136883035546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96338131)-sin(-0.96349074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570746772111218-0.570656912861616)×R²
    abs(-0.35665053--0.35684228)×8.98592496016981e-05×R²
    0.000191749999999991×8.98592496016981e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.98592496016981e-05×40589641000000     		ar = 486067.134398645m²