Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14522 / 22139
↖ ↑ ↗
← S 53.298055°
W 20.456543°		 ← 730.12 m → S 53.298055°
W 20.445557°		 →
↑
730.05 m
↓
↑
730.05 m
↓
S 53.304621°
W 20.456543°		 ← 730 m →
532 982 m²		 S 53.304621°
W 20.445557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443191528320312 y=0.675643920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443191528320312 × 215)
    floor (0.443191528320312 × 32768)
    floor (14522.5)     		tx = 14522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675643920898438 × 215)
    floor (0.675643920898438 × 32768)
    floor (22139.5)     		ty = 22139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14522 / 22139 ti = "15/14522/22139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14522/22139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14522 ÷ 215
    14522 ÷ 32768     		x = 0.44317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22139 ÷ 215
    22139 ÷ 32768     		y = 0.675628662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1136474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35703403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675628662109375 × 2 - 1) × π
    -0.35125732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.10350742925369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35703403} λ = -0.35703403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10350742925369))-π/2
    2×atan(0.331705607029703)-π/2
    2×0.3202848860603-π/2
    0.6405697721206-1.57079632675     		φ = -0.93022655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35703403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.456543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93022655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.298055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14522 KachelY 22139 -0.35703403 -0.93022655 -20.456543 -53.298055
    Oben rechts KachelX + 1 14523 KachelY 22139 -0.35684228 -0.93022655 -20.445557 -53.298055
    Unten links KachelX 14522 KachelY + 1 22140 -0.35703403 -0.93034114 -20.456543 -53.304621
    Unten rechts KachelX + 1 14523 KachelY + 1 22140 -0.35684228 -0.93034114 -20.445557 -53.304621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93022655--0.93034114) × R
    0.000114590000000026 × 6371000     		dl = 730.052890000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93022655--0.93034114) × R
    0.000114590000000026 × 6371000     		dr = 730.052890000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35703403--0.35684228) × cos(-0.93022655) × R
    0.000191749999999991 × 0.597652359949359 × 6371000     		do = 730.115580769229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35703403--0.35684228) × cos(-0.93034114) × R
    0.000191749999999991 × 0.597560482879056 × 6371000     		du = 730.003340133972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93022655)-sin(-0.93034114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597652359949359-0.597560482879056)×R²
    abs(-0.35684228--0.35703403)×9.18770703026706e-05×R²
    0.000191749999999991×9.18770703026706e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.18770703026706e-05×40589641000000     		ar = 532982.019558371m²