Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14518 / 22195
↖ ↑ ↗
← S 53.664171°
W 20.500488°		 ← 723.84 m → S 53.664171°
W 20.489502°		 →
↑
723.75 m
↓
↑
723.75 m
↓
S 53.670680°
W 20.500488°		 ← 723.73 m →
523 837 m²		 S 53.670680°
W 20.489502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443069458007812 y=0.677352905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443069458007812 × 215)
    floor (0.443069458007812 × 32768)
    floor (14518.5)     		tx = 14518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677352905273438 × 215)
    floor (0.677352905273438 × 32768)
    floor (22195.5)     		ty = 22195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14518 / 22195 ti = "15/14518/22195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14518/22195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14518 ÷ 215
    14518 ÷ 32768     		x = 0.44305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22195 ÷ 215
    22195 ÷ 32768     		y = 0.677337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.1138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35780102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.35467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11424529476859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35780102} λ = -0.35780102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11424529476859))-π/2
    2×atan(0.328162851686523)-π/2
    2×0.317089925298526-π/2
    0.634179850597051-1.57079632675     		φ = -0.93661648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35780102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.500488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93661648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.664171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14518 KachelY 22195 -0.35780102 -0.93661648 -20.500488 -53.664171
    Oben rechts KachelX + 1 14519 KachelY 22195 -0.35760927 -0.93661648 -20.489502 -53.664171
    Unten links KachelX 14518 KachelY + 1 22196 -0.35780102 -0.93673008 -20.500488 -53.670680
    Unten rechts KachelX + 1 14519 KachelY + 1 22196 -0.35760927 -0.93673008 -20.489502 -53.670680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93661648--0.93673008) × R
    0.000113600000000047 × 6371000     		dl = 723.745600000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93661648--0.93673008) × R
    0.000113600000000047 × 6371000     		dr = 723.745600000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35780102--0.35760927) × cos(-0.93661648) × R
    0.000191750000000046 × 0.59251703279684 × 6371000     		do = 723.84206355833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35780102--0.35760927) × cos(-0.93673008) × R
    0.000191750000000046 × 0.592425517593882 × 6371000     		du = 723.730264994426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93661648)-sin(-0.93673008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59251703279684-0.592425517593882)×R²
    abs(-0.35760927--0.35780102)×9.15152029571376e-05×R²
    0.000191750000000046×9.15152029571376e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.15152029571376e-05×40589641000000     		ar = 523837.052299569m²