Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14511 / 22202
↖ ↑ ↗
← S 53.709713°
W 20.577392°		 ← 723.06 m → S 53.709713°
W 20.566406°		 →
↑
722.98 m
↓
↑
722.98 m
↓
S 53.716215°
W 20.577392°		 ← 722.95 m →
522 718 m²		 S 53.716215°
W 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442855834960938 y=0.677566528320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442855834960938 × 215)
    floor (0.442855834960938 × 32768)
    floor (14511.5)     		tx = 14511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677566528320312 × 215)
    floor (0.677566528320312 × 32768)
    floor (22202.5)     		ty = 22202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14511 / 22202 ti = "15/14511/22202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14511/22202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14511 ÷ 215
    14511 ÷ 32768     		x = 0.442840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22202 ÷ 215
    22202 ÷ 32768     		y = 0.67755126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442840576171875 × 2 - 1) × π
    -0.11431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35914325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.3551025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11558752795795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35914325} λ = -0.35914325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11558752795795))-π/2
    2×atan(0.327722676090705)-π/2
    2×0.316692492225308-π/2
    0.633384984450616-1.57079632675     		φ = -0.93741134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35914325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.577392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93741134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.709713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14511 KachelY 22202 -0.35914325 -0.93741134 -20.577392 -53.709713
    Oben rechts KachelX + 1 14512 KachelY 22202 -0.35895150 -0.93741134 -20.566406 -53.709713
    Unten links KachelX 14511 KachelY + 1 22203 -0.35914325 -0.93752482 -20.577392 -53.716215
    Unten rechts KachelX + 1 14512 KachelY + 1 22203 -0.35895150 -0.93752482 -20.566406 -53.716215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93741134--0.93752482) × R
    0.000113479999999999 × 6371000     		dl = 722.981079999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93741134--0.93752482) × R
    0.000113479999999999 × 6371000     		dr = 722.981079999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35914325--0.35895150) × cos(-0.93741134) × R
    0.000191750000000046 × 0.591876539917472 × 6371000     		do = 723.059612317549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35914325--0.35895150) × cos(-0.93752482) × R
    0.000191750000000046 × 0.591785067977087 × 6371000     		du = 722.947866604901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93741134)-sin(-0.93752482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591876539917472-0.591785067977087)×R²
    abs(-0.35895150--0.35914325)×9.14719403850572e-05×R²
    0.000191750000000046×9.14719403850572e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.14719403850572e-05×40589641000000     		ar = 522718.024960965m²