Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14510 / 22641
↖ ↑ ↗
← S 56.468560°
W 20.588379°		 ← 674.83 m → S 56.468560°
W 20.577392°		 →
↑
674.75 m
↓
↑
674.75 m
↓
S 56.474628°
W 20.588379°		 ← 674.72 m →
455 305 m²		 S 56.474628°
W 20.577392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442825317382812 y=0.690963745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442825317382812 × 215)
    floor (0.442825317382812 × 32768)
    floor (14510.5)     		tx = 14510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690963745117188 × 215)
    floor (0.690963745117188 × 32768)
    floor (22641.5)     		ty = 22641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14510 / 22641 ti = "15/14510/22641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14510/22641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14510 ÷ 215
    14510 ÷ 32768     		x = 0.44281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22641 ÷ 215
    22641 ÷ 32768     		y = 0.690948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.1143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35933500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.38189697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19976472369077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35933500} λ = -0.35933500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19976472369077))-π/2
    2×atan(0.301265084111691)-π/2
    2×0.292617017606387-π/2
    0.585234035212774-1.57079632675     		φ = -0.98556229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35933500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.588379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98556229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.468560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14510 KachelY 22641 -0.35933500 -0.98556229 -20.588379 -56.468560
    Oben rechts KachelX + 1 14511 KachelY 22641 -0.35914325 -0.98556229 -20.577392 -56.468560
    Unten links KachelX 14510 KachelY + 1 22642 -0.35933500 -0.98566820 -20.588379 -56.474628
    Unten rechts KachelX + 1 14511 KachelY + 1 22642 -0.35914325 -0.98566820 -20.577392 -56.474628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98556229--0.98566820) × R
    0.000105910000000042 × 6371000     		dl = 674.75261000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98556229--0.98566820) × R
    0.000105910000000042 × 6371000     		dr = 674.75261000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35933500--0.35914325) × cos(-0.98556229) × R
    0.000191749999999991 × 0.552394486510025 × 6371000     		do = 674.826786204208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35933500--0.35914325) × cos(-0.98566820) × R
    0.000191749999999991 × 0.552306198654783 × 6371000     		du = 674.718930294947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98556229)-sin(-0.98566820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552394486510025-0.552306198654783)×R²
    abs(-0.35914325--0.35933500)×8.8287855241731e-05×R²
    0.000191749999999991×8.8287855241731e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.8287855241731e-05×40589641000000     		ar = 455304.747686771m²