Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14509 / 22367
↖ ↑ ↗
← S 54.769009°
W 20.599365°		 ← 704.73 m → S 54.769009°
W 20.588379°		 →
↑
704.63 m
↓
↑
704.63 m
↓
S 54.775346°
W 20.599365°		 ← 704.62 m →
496 538 m²		 S 54.775346°
W 20.588379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442794799804688 y=0.682601928710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442794799804688 × 215)
    floor (0.442794799804688 × 32768)
    floor (14509.5)     		tx = 14509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682601928710938 × 215)
    floor (0.682601928710938 × 32768)
    floor (22367.5)     		ty = 22367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14509 / 22367 ti = "15/14509/22367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14509/22367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14509 ÷ 215
    14509 ÷ 32768     		x = 0.442779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22367 ÷ 215
    22367 ÷ 32768     		y = 0.682586669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442779541015625 × 2 - 1) × π
    -0.11444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35952675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682586669921875 × 2 - 1) × π
    -0.36517333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14722588170718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35952675} λ = -0.35952675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14722588170718))-π/2
    2×atan(0.317516376736494)-π/2
    2×0.307448399117285-π/2
    0.614896798234571-1.57079632675     		φ = -0.95589953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35952675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.599365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95589953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.769009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14509 KachelY 22367 -0.35952675 -0.95589953 -20.599365 -54.769009
    Oben rechts KachelX + 1 14510 KachelY 22367 -0.35933500 -0.95589953 -20.588379 -54.769009
    Unten links KachelX 14509 KachelY + 1 22368 -0.35952675 -0.95601013 -20.599365 -54.775346
    Unten rechts KachelX + 1 14510 KachelY + 1 22368 -0.35933500 -0.95601013 -20.588379 -54.775346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95589953--0.95601013) × R
    0.000110599999999961 × 6371000     		dl = 704.63259999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95589953--0.95601013) × R
    0.000110599999999961 × 6371000     		dr = 704.63259999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35952675--0.35933500) × cos(-0.95589953) × R
    0.000191749999999991 × 0.576874225575419 × 6371000     		do = 704.732196276251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35952675--0.35933500) × cos(-0.95601013) × R
    0.000191749999999991 × 0.576783880319027 × 6371000     		du = 704.621826964991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95589953)-sin(-0.95601013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576874225575419-0.576783880319027)×R²
    abs(-0.35933500--0.35952675)×9.03452563915108e-05×R²
    0.000191749999999991×9.03452563915108e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.03452563915108e-05×40589641000000     		ar = 496538.395364308m²