Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14507 / 22652
↖ ↑ ↗
← S 56.535258°
W 20.621338°		 ← 673.64 m → S 56.535258°
W 20.610351°		 →
↑
673.61 m
↓
↑
673.61 m
↓
S 56.541316°
W 20.621338°		 ← 673.53 m →
453 732 m²		 S 56.541316°
W 20.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442733764648438 y=0.691299438476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442733764648438 × 215)
    floor (0.442733764648438 × 32768)
    floor (14507.5)     		tx = 14507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691299438476562 × 215)
    floor (0.691299438476562 × 32768)
    floor (22652.5)     		ty = 22652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14507 / 22652 ti = "15/14507/22652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14507/22652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14507 ÷ 215
    14507 ÷ 32768     		x = 0.442718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22652 ÷ 215
    22652 ÷ 32768     		y = 0.6912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.11456298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35991024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6912841796875 × 2 - 1) × π
    -0.382568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.20187394727405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35991024} λ = -0.35991024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20187394727405))-π/2
    2×atan(0.300630318358242)-π/2
    2×0.292034967833851-π/2
    0.584069935667702-1.57079632675     		φ = -0.98672639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35991024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.621338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98672639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.535258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14507 KachelY 22652 -0.35991024 -0.98672639 -20.621338 -56.535258
    Oben rechts KachelX + 1 14508 KachelY 22652 -0.35971849 -0.98672639 -20.610351 -56.535258
    Unten links KachelX 14507 KachelY + 1 22653 -0.35991024 -0.98683212 -20.621338 -56.541316
    Unten rechts KachelX + 1 14508 KachelY + 1 22653 -0.35971849 -0.98683212 -20.610351 -56.541316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98672639--0.98683212) × R
    0.000105730000000026 × 6371000     		dl = 673.605830000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98672639--0.98683212) × R
    0.000105730000000026 × 6371000     		dr = 673.605830000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35991024--0.35971849) × cos(-0.98672639) × R
    0.000191749999999991 × 0.551423738676219 × 6371000     		do = 673.640882548578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35991024--0.35971849) × cos(-0.98683212) × R
    0.000191749999999991 × 0.55133553295269 × 6371000     		du = 673.533126974641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98672639)-sin(-0.98683212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551423738676219-0.55133553295269)×R²
    abs(-0.35971849--0.35991024)×8.82057235287448e-05×R²
    0.000191749999999991×8.82057235287448e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.82057235287448e-05×40589641000000     		ar = 453732.133841887m²