Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14505 / 22185
↖ ↑ ↗
← S 53.599025°
W 20.643311°		 ← 724.96 m → S 53.599025°
W 20.632324°		 →
↑
724.89 m
↓
↑
724.89 m
↓
S 53.605544°
W 20.643311°		 ← 724.85 m →
525 478 m²		 S 53.605544°
W 20.632324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442672729492188 y=0.677047729492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442672729492188 × 215)
    floor (0.442672729492188 × 32768)
    floor (14505.5)     		tx = 14505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677047729492188 × 215)
    floor (0.677047729492188 × 32768)
    floor (22185.5)     		ty = 22185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14505 / 22185 ti = "15/14505/22185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14505/22185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14505 ÷ 215
    14505 ÷ 32768     		x = 0.442657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22185 ÷ 215
    22185 ÷ 32768     		y = 0.677032470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.11468505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36029374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677032470703125 × 2 - 1) × π
    -0.35406494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11232781878378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36029374} λ = -0.36029374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11232781878378))-π/2
    2×atan(0.328792699740013)-π/2
    2×0.31765843272564-π/2
    0.635316865451281-1.57079632675     		φ = -0.93547946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36029374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.643311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93547946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.599025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14505 KachelY 22185 -0.36029374 -0.93547946 -20.643311 -53.599025
    Oben rechts KachelX + 1 14506 KachelY 22185 -0.36010199 -0.93547946 -20.632324 -53.599025
    Unten links KachelX 14505 KachelY + 1 22186 -0.36029374 -0.93559324 -20.643311 -53.605544
    Unten rechts KachelX + 1 14506 KachelY + 1 22186 -0.36010199 -0.93559324 -20.632324 -53.605544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93547946--0.93559324) × R
    0.000113779999999952 × 6371000     		dl = 724.892379999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93547946--0.93559324) × R
    0.000113779999999952 × 6371000     		dr = 724.892379999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36029374--0.36010199) × cos(-0.93547946) × R
    0.000191749999999991 × 0.593432585060802 × 6371000     		do = 724.960538139204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36029374--0.36010199) × cos(-0.93559324) × R
    0.000191749999999991 × 0.593341001552608 × 6371000     		du = 724.848656130941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93547946)-sin(-0.93559324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593432585060802-0.593341001552608)×R²
    abs(-0.36010199--0.36029374)×9.15835081943817e-05×R²
    0.000191749999999991×9.15835081943817e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.15835081943817e-05×40589641000000     		ar = 525477.819256488m²