Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14496 / 22448
↖ ↑ ↗
← S 55.279115°
W 20.742188°		 ← 695.82 m → S 55.279115°
W 20.731201°		 →
↑
695.78 m
↓
↑
695.78 m
↓
S 55.285373°
W 20.742188°		 ← 695.71 m →
484 098 m²		 S 55.285373°
W 20.731201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442398071289062 y=0.685073852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442398071289062 × 215)
    floor (0.442398071289062 × 32768)
    floor (14496.5)     		tx = 14496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685073852539062 × 215)
    floor (0.685073852539062 × 32768)
    floor (22448.5)     		ty = 22448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14496 / 22448 ti = "15/14496/22448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14496/22448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14496 ÷ 215
    14496 ÷ 32768     		x = 0.4423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22448 ÷ 215
    22448 ÷ 32768     		y = 0.68505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4423828125 × 2 - 1) × π
    -0.115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36201947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68505859375 × 2 - 1) × π
    -0.3701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16275743718408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36201947} λ = -0.36201947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16275743718408))-π/2
    2×atan(0.312622953125861)-π/2
    2×0.302996878689303-π/2
    0.605993757378607-1.57079632675     		φ = -0.96480257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36201947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96480257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.279115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14496 KachelY 22448 -0.36201947 -0.96480257 -20.742188 -55.279115
    Oben rechts KachelX + 1 14497 KachelY 22448 -0.36182772 -0.96480257 -20.731201 -55.279115
    Unten links KachelX 14496 KachelY + 1 22449 -0.36201947 -0.96491178 -20.742188 -55.285373
    Unten rechts KachelX + 1 14497 KachelY + 1 22449 -0.36182772 -0.96491178 -20.731201 -55.285373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96480257--0.96491178) × R
    0.000109209999999971 × 6371000     		dl = 695.776909999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96480257--0.96491178) × R
    0.000109209999999971 × 6371000     		dr = 695.776909999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36201947--0.36182772) × cos(-0.96480257) × R
    0.000191749999999991 × 0.569579162331506 × 6371000     		do = 695.820260686254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36201947--0.36182772) × cos(-0.96491178) × R
    0.000191749999999991 × 0.569489395252023 × 6371000     		du = 695.7105976986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96480257)-sin(-0.96491178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569579162331506-0.569489395252023)×R²
    abs(-0.36182772--0.36201947)×8.97670794829386e-05×R²
    0.000191749999999991×8.97670794829386e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.97670794829386e-05×40589641000000     		ar = 484097.520889443m²