Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14496 / 22355
↖ ↑ ↗
← S 54.692884°
W 20.742188°		 ← 706.06 m → S 54.692884°
W 20.731201°		 →
↑
705.97 m
↓
↑
705.97 m
↓
S 54.699233°
W 20.742188°		 ← 705.95 m →
498 417 m²		 S 54.699233°
W 20.731201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442398071289062 y=0.682235717773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442398071289062 × 215)
    floor (0.442398071289062 × 32768)
    floor (14496.5)     		tx = 14496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682235717773438 × 215)
    floor (0.682235717773438 × 32768)
    floor (22355.5)     		ty = 22355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14496 / 22355 ti = "15/14496/22355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14496/22355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14496 ÷ 215
    14496 ÷ 32768     		x = 0.4423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22355 ÷ 215
    22355 ÷ 32768     		y = 0.682220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4423828125 × 2 - 1) × π
    -0.115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36201947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682220458984375 × 2 - 1) × π
    -0.36444091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14492491052542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36201947} λ = -0.36201947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14492491052542))-π/2
    2×atan(0.318247813954368)-π/2
    2×0.308112708499972-π/2
    0.616225416999944-1.57079632675     		φ = -0.95457091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36201947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95457091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.692884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14496 KachelY 22355 -0.36201947 -0.95457091 -20.742188 -54.692884
    Oben rechts KachelX + 1 14497 KachelY 22355 -0.36182772 -0.95457091 -20.731201 -54.692884
    Unten links KachelX 14496 KachelY + 1 22356 -0.36201947 -0.95468172 -20.742188 -54.699233
    Unten rechts KachelX + 1 14497 KachelY + 1 22356 -0.36182772 -0.95468172 -20.731201 -54.699233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95457091--0.95468172) × R
    0.000110809999999906 × 6371000     		dl = 705.970509999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95457091--0.95468172) × R
    0.000110809999999906 × 6371000     		dr = 705.970509999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36201947--0.36182772) × cos(-0.95457091) × R
    0.000191749999999991 × 0.577958976740591 × 6371000     		do = 706.057370876108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36201947--0.36182772) × cos(-0.95468172) × R
    0.000191749999999991 × 0.577868544939017 × 6371000     		du = 705.946895837857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95457091)-sin(-0.95468172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577958976740591-0.577868544939017)×R²
    abs(-0.36182772--0.36201947)×9.04318015738648e-05×R²
    0.000191749999999991×9.04318015738648e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.04318015738648e-05×40589641000000     		ar = 498416.686656755m²