Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14495 / 22168
↖ ↑ ↗
← S 53.488045°
W 20.753174°		 ← 726.83 m → S 53.488045°
W 20.742188°		 →
↑
726.80 m
↓
↑
726.80 m
↓
S 53.494582°
W 20.753174°		 ← 726.71 m →
528 219 m²		 S 53.494582°
W 20.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442367553710938 y=0.676528930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442367553710938 × 215)
    floor (0.442367553710938 × 32768)
    floor (14495.5)     		tx = 14495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676528930664062 × 215)
    floor (0.676528930664062 × 32768)
    floor (22168.5)     		ty = 22168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14495 / 22168 ti = "15/14495/22168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14495/22168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14495 ÷ 215
    14495 ÷ 32768     		x = 0.442352294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22168 ÷ 215
    22168 ÷ 32768     		y = 0.676513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442352294921875 × 2 - 1) × π
    -0.11529541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36221121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676513671875 × 2 - 1) × π
    -0.35302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.10906810960962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36221121} λ = -0.36221121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10906810960962))-π/2
    2×atan(0.329866217046287)-π/2
    2×0.318626910876461-π/2
    0.637253821752921-1.57079632675     		φ = -0.93354250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36221121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.753174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93354250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.488045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14495 KachelY 22168 -0.36221121 -0.93354250 -20.753174 -53.488045
    Oben rechts KachelX + 1 14496 KachelY 22168 -0.36201947 -0.93354250 -20.742188 -53.488045
    Unten links KachelX 14495 KachelY + 1 22169 -0.36221121 -0.93365658 -20.753174 -53.494582
    Unten rechts KachelX + 1 14496 KachelY + 1 22169 -0.36201947 -0.93365658 -20.742188 -53.494582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93354250--0.93365658) × R
    0.000114079999999905 × 6371000     		dl = 726.803679999397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93354250--0.93365658) × R
    0.000114079999999905 × 6371000     		dr = 726.803679999397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36221121--0.36201947) × cos(-0.93354250) × R
    0.000191739999999996 × 0.59499049838923 × 6371000     		do = 726.825839364676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36221121--0.36201947) × cos(-0.93365658) × R
    0.000191739999999996 × 0.59489880468752 × 6371000     		du = 726.713828581495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93354250)-sin(-0.93365658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59499049838923-0.59489880468752)×R²
    abs(-0.36201947--0.36221121)×9.16937017100272e-05×R²
    0.000191739999999996×9.16937017100272e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.16937017100272e-05×40589641000000     		ar = 528218.990417583m²