Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14491 / 22205
↖ ↑ ↗
← S 53.729217°
W 20.797119°		 ← 722.69 m → S 53.729217°
W 20.786133°		 →
↑
722.66 m
↓
↑
722.66 m
↓
S 53.735716°
W 20.797119°		 ← 722.57 m →
522 218 m²		 S 53.735716°
W 20.786133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442245483398438 y=0.677658081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442245483398438 × 215)
    floor (0.442245483398438 × 32768)
    floor (14491.5)     		tx = 14491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677658081054688 × 215)
    floor (0.677658081054688 × 32768)
    floor (22205.5)     		ty = 22205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14491 / 22205 ti = "15/14491/22205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14491/22205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14491 ÷ 215
    14491 ÷ 32768     		x = 0.442230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22205 ÷ 215
    22205 ÷ 32768     		y = 0.677642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442230224609375 × 2 - 1) × π
    -0.11553955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36297820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.35528564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.11616277075339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36297820} λ = -0.36297820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11616277075339))-π/2
    2×atan(0.327534210194403)-π/2
    2×0.31652229533143-π/2
    0.63304459066286-1.57079632675     		φ = -0.93775174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36297820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.797119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93775174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.729217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14491 KachelY 22205 -0.36297820 -0.93775174 -20.797119 -53.729217
    Oben rechts KachelX + 1 14492 KachelY 22205 -0.36278646 -0.93775174 -20.786133 -53.729217
    Unten links KachelX 14491 KachelY + 1 22206 -0.36297820 -0.93786517 -20.797119 -53.735716
    Unten rechts KachelX + 1 14492 KachelY + 1 22206 -0.36278646 -0.93786517 -20.786133 -53.735716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93775174--0.93786517) × R
    0.000113430000000081 × 6371000     		dl = 722.662530000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93775174--0.93786517) × R
    0.000113430000000081 × 6371000     		dr = 722.662530000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36297820--0.36278646) × cos(-0.93775174) × R
    0.000191739999999996 × 0.591602133484188 × 6371000     		do = 722.686695676083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36297820--0.36278646) × cos(-0.93786517) × R
    0.000191739999999996 × 0.591510679002371 × 6371000     		du = 722.574977118072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93775174)-sin(-0.93786517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591602133484188-0.591510679002371)×R²
    abs(-0.36278646--0.36297820)×9.14544818170215e-05×R²
    0.000191739999999996×9.14544818170215e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.14544818170215e-05×40589641000000     		ar = 522218.229047263m²