Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14489 / 22905
↖ ↑ ↗
← S 58.037189°
W 20.819092°		 ← 646.70 m → S 58.037189°
W 20.808105°		 →
↑
646.66 m
↓
↑
646.66 m
↓
S 58.043004°
W 20.819092°		 ← 646.59 m →
418 157 m²		 S 58.043004°
W 20.808105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442184448242188 y=0.699020385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442184448242188 × 215)
    floor (0.442184448242188 × 32768)
    floor (14489.5)     		tx = 14489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699020385742188 × 215)
    floor (0.699020385742188 × 32768)
    floor (22905.5)     		ty = 22905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14489 / 22905 ti = "15/14489/22905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14489/22905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14489 ÷ 215
    14489 ÷ 32768     		x = 0.442169189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22905 ÷ 215
    22905 ÷ 32768     		y = 0.699005126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442169189453125 × 2 - 1) × π
    -0.11566162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36336170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699005126953125 × 2 - 1) × π
    -0.39801025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25038608968954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36336170} λ = -0.36336170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25038608968954))-π/2
    2×atan(0.286394201663324)-π/2
    2×0.278928147583311-π/2
    0.557856295166622-1.57079632675     		φ = -1.01294003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36336170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.819092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01294003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.037189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14489 KachelY 22905 -0.36336170 -1.01294003 -20.819092 -58.037189
    Oben rechts KachelX + 1 14490 KachelY 22905 -0.36316995 -1.01294003 -20.808105 -58.037189
    Unten links KachelX 14489 KachelY + 1 22906 -0.36336170 -1.01304153 -20.819092 -58.043004
    Unten rechts KachelX + 1 14490 KachelY + 1 22906 -0.36316995 -1.01304153 -20.808105 -58.043004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01294003--1.01304153) × R
    0.000101499999999977 × 6371000     		dl = 646.656499999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01294003--1.01304153) × R
    0.000101499999999977 × 6371000     		dr = 646.656499999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36336170--0.36316995) × cos(-1.01294003) × R
    0.000191749999999991 × 0.529368715292052 × 6371000     		do = 646.697600322814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36336170--0.36316995) × cos(-1.01304153) × R
    0.000191749999999991 × 0.529282600790659 × 6371000     		du = 646.592399467918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01294003)-sin(-1.01304153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529368715292052-0.529282600790659)×R²
    abs(-0.36316995--0.36336170)×8.61145013931752e-05×R²
    0.000191749999999991×8.61145013931752e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.61145013931752e-05×40589641000000     		ar = 418157.192733889m²