Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14486 / 22178
↖ ↑ ↗
← S 53.553363°
W 20.852051°		 ← 725.74 m → S 53.553363°
W 20.841064°		 →
↑
725.66 m
↓
↑
725.66 m
↓
S 53.559889°
W 20.852051°		 ← 725.63 m →
526 600 m²		 S 53.559889°
W 20.841064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442092895507812 y=0.676834106445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442092895507812 × 215)
    floor (0.442092895507812 × 32768)
    floor (14486.5)     		tx = 14486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676834106445312 × 215)
    floor (0.676834106445312 × 32768)
    floor (22178.5)     		ty = 22178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14486 / 22178 ti = "15/14486/22178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14486/22178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14486 ÷ 215
    14486 ÷ 32768     		x = 0.44207763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22178 ÷ 215
    22178 ÷ 32768     		y = 0.67681884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44207763671875 × 2 - 1) × π
    -0.1158447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36393694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.3536376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.11098558559442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36393694} λ = -0.36393694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11098558559442))-π/2
    2×atan(0.32923431252139)-π/2
    2×0.318056910345647-π/2
    0.636113820691294-1.57079632675     		φ = -0.93468251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36393694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.852051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93468251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.553363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14486 KachelY 22178 -0.36393694 -0.93468251 -20.852051 -53.553363
    Oben rechts KachelX + 1 14487 KachelY 22178 -0.36374519 -0.93468251 -20.841064 -53.553363
    Unten links KachelX 14486 KachelY + 1 22179 -0.36393694 -0.93479641 -20.852051 -53.559889
    Unten rechts KachelX + 1 14487 KachelY + 1 22179 -0.36374519 -0.93479641 -20.841064 -53.559889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93468251--0.93479641) × R
    0.0001139 × 6371000     		dl = 725.656900000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93468251--0.93479641) × R
    0.0001139 × 6371000     		dr = 725.656900000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36393694--0.36374519) × cos(-0.93468251) × R
    0.000191749999999991 × 0.594073848602663 × 6371000     		do = 725.743930851535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36393694--0.36374519) × cos(-0.93479641) × R
    0.000191749999999991 × 0.593982222392688 × 6371000     		du = 725.631996677101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93468251)-sin(-0.93479641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594073848602663-0.593982222392688)×R²
    abs(-0.36374519--0.36393694)×9.16262099749376e-05×R²
    0.000191749999999991×9.16262099749376e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.16262099749376e-05×40589641000000     		ar = 526600.478721146m²