Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14480 / 22457
↖ ↑ ↗
← S 55.335394°
W 20.917969°		 ← 694.83 m → S 55.335394°
W 20.906982°		 →
↑
694.76 m
↓
↑
694.76 m
↓
S 55.341642°
W 20.917969°		 ← 694.72 m →
482 703 m²		 S 55.341642°
W 20.906982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441909790039062 y=0.685348510742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441909790039062 × 215)
    floor (0.441909790039062 × 32768)
    floor (14480.5)     		tx = 14480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685348510742188 × 215)
    floor (0.685348510742188 × 32768)
    floor (22457.5)     		ty = 22457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14480 / 22457 ti = "15/14480/22457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14480/22457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14480 ÷ 215
    14480 ÷ 32768     		x = 0.44189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22457 ÷ 215
    22457 ÷ 32768     		y = 0.685333251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44189453125 × 2 - 1) × π
    -0.1162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36508743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685333251953125 × 2 - 1) × π
    -0.37066650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1644831655704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36508743} λ = -0.36508743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1644831655704))-π/2
    2×atan(0.312083916070986)-π/2
    2×0.302505757698554-π/2
    0.605011515397109-1.57079632675     		φ = -0.96578481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36508743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96578481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.335394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14480 KachelY 22457 -0.36508743 -0.96578481 -20.917969 -55.335394
    Oben rechts KachelX + 1 14481 KachelY 22457 -0.36489568 -0.96578481 -20.906982 -55.335394
    Unten links KachelX 14480 KachelY + 1 22458 -0.36508743 -0.96589386 -20.917969 -55.341642
    Unten rechts KachelX + 1 14481 KachelY + 1 22458 -0.36489568 -0.96589386 -20.906982 -55.341642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96578481--0.96589386) × R
    0.000109049999999944 × 6371000     		dl = 694.757549999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96578481--0.96589386) × R
    0.000109049999999944 × 6371000     		dr = 694.757549999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36508743--0.36489568) × cos(-0.96578481) × R
    0.000191749999999991 × 0.568771548809141 × 6371000     		do = 694.833648308503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36508743--0.36489568) × cos(-0.96589386) × R
    0.000191749999999991 × 0.568681852288002 × 6371000     		du = 694.724071517691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96578481)-sin(-0.96589386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568771548809141-0.568681852288002)×R²
    abs(-0.36489568--0.36508743)×8.96965211389933e-05×R²
    0.000191749999999991×8.96965211389933e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.96965211389933e-05×40589641000000     		ar = 482702.858983813m²