Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14477 / 22908
↖ ↑ ↗
← S 58.054632°
W 20.950928°		 ← 646.38 m → S 58.054632°
W 20.939941°		 →
↑
646.34 m
↓
↑
646.34 m
↓
S 58.060444°
W 20.950928°		 ← 646.28 m →
417 747 m²		 S 58.060444°
W 20.939941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441818237304688 y=0.699111938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441818237304688 × 215)
    floor (0.441818237304688 × 32768)
    floor (14477.5)     		tx = 14477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699111938476562 × 215)
    floor (0.699111938476562 × 32768)
    floor (22908.5)     		ty = 22908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14477 / 22908 ti = "15/14477/22908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14477/22908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14477 ÷ 215
    14477 ÷ 32768     		x = 0.441802978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22908 ÷ 215
    22908 ÷ 32768     		y = 0.6990966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441802978515625 × 2 - 1) × π
    -0.11639404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36566267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6990966796875 × 2 - 1) × π
    -0.398193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25096133248499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36566267} λ = -0.36566267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25096133248499))-π/2
    2×atan(0.286229502837609)-π/2
    2×0.278775926963494-π/2
    0.557551853926989-1.57079632675     		φ = -1.01324447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36566267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.950928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01324447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.054632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14477 KachelY 22908 -0.36566267 -1.01324447 -20.950928 -58.054632
    Oben rechts KachelX + 1 14478 KachelY 22908 -0.36547092 -1.01324447 -20.939941 -58.054632
    Unten links KachelX 14477 KachelY + 1 22909 -0.36566267 -1.01334592 -20.950928 -58.060444
    Unten rechts KachelX + 1 14478 KachelY + 1 22909 -0.36547092 -1.01334592 -20.939941 -58.060444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01324447--1.01334592) × R
    0.000101449999999836 × 6371000     		dl = 646.337949998958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01324447--1.01334592) × R
    0.000101449999999836 × 6371000     		dr = 646.337949998958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36566267--0.36547092) × cos(-1.01324447) × R
    0.000191750000000046 × 0.529110406343535 × 6371000     		do = 646.382039972867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36566267--0.36547092) × cos(-1.01334592) × R
    0.000191750000000046 × 0.529024317919955 × 6371000     		du = 646.276870975651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01324447)-sin(-1.01334592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529110406343535-0.529024317919955)×R²
    abs(-0.36547092--0.36566267)×8.60884235803772e-05×R²
    0.000191750000000046×8.60884235803772e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.60884235803772e-05×40589641000000     		ar = 417747.255633203m²