Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14474 / 22918
↖ ↑ ↗
← S 58.112714°
W 20.983887°		 ← 645.30 m → S 58.112714°
W 20.972901°		 →
↑
645.32 m
↓
↑
645.32 m
↓
S 58.118518°
W 20.983887°		 ← 645.19 m →
416 388 m²		 S 58.118518°
W 20.972901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441726684570312 y=0.699417114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441726684570312 × 215)
    floor (0.441726684570312 × 32768)
    floor (14474.5)     		tx = 14474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699417114257812 × 215)
    floor (0.699417114257812 × 32768)
    floor (22918.5)     		ty = 22918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14474 / 22918 ti = "15/14474/22918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14474/22918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14474 ÷ 215
    14474 ÷ 32768     		x = 0.44171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22918 ÷ 215
    22918 ÷ 32768     		y = 0.69940185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.1165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36623791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69940185546875 × 2 - 1) × π
    -0.3988037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25287880846979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36623791} λ = -0.36623791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25287880846979))-π/2
    2×atan(0.285681190495649)-π/2
    2×0.278269061271345-π/2
    0.556538122542689-1.57079632675     		φ = -1.01425820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36623791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.983887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01425820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.112714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14474 KachelY 22918 -0.36623791 -1.01425820 -20.983887 -58.112714
    Oben rechts KachelX + 1 14475 KachelY 22918 -0.36604617 -1.01425820 -20.972901 -58.112714
    Unten links KachelX 14474 KachelY + 1 22919 -0.36623791 -1.01435949 -20.983887 -58.118518
    Unten rechts KachelX + 1 14475 KachelY + 1 22919 -0.36604617 -1.01435949 -20.972901 -58.118518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01425820--1.01435949) × R
    0.000101289999999921 × 6371000     		dl = 645.318589999494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01425820--1.01435949) × R
    0.000101289999999921 × 6371000     		dr = 645.318589999494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36623791--0.36604617) × cos(-1.01425820) × R
    0.000191739999999996 × 0.528249930997942 × 6371000     		do = 645.29719471376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36623791--0.36604617) × cos(-1.01435949) × R
    0.000191739999999996 × 0.528163924070575 × 6371000     		du = 645.192130755017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01425820)-sin(-1.01435949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528249930997942-0.528163924070575)×R²
    abs(-0.36604617--0.36623791)×8.60069273673769e-05×R²
    0.000191739999999996×8.60069273673769e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.60069273673769e-05×40589641000000     		ar = 416388.376316453m²