Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14472 / 22921
↖ ↑ ↗
← S 58.130121°
W 21.005859°		 ← 645.02 m → S 58.130121°
W 20.994873°		 →
↑
644.94 m
↓
↑
644.94 m
↓
S 58.135921°
W 21.005859°		 ← 644.91 m →
415 960 m²		 S 58.135921°
W 20.994873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441665649414062 y=0.699508666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441665649414062 × 215)
    floor (0.441665649414062 × 32768)
    floor (14472.5)     		tx = 14472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699508666992188 × 215)
    floor (0.699508666992188 × 32768)
    floor (22921.5)     		ty = 22921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14472 / 22921 ti = "15/14472/22921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14472/22921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14472 ÷ 215
    14472 ÷ 32768     		x = 0.441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22921 ÷ 215
    22921 ÷ 32768     		y = 0.699493408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441650390625 × 2 - 1) × π
    -0.11669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36662141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.39898681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25345405126523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36662141} λ = -0.36662141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25345405126523))-π/2
    2×atan(0.285516901706525)-π/2
    2×0.2781171623904-π/2
    0.5562343247808-1.57079632675     		φ = -1.01456200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36662141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.005859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01456200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.130121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14472 KachelY 22921 -0.36662141 -1.01456200 -21.005859 -58.130121
    Oben rechts KachelX + 1 14473 KachelY 22921 -0.36642966 -1.01456200 -20.994873 -58.130121
    Unten links KachelX 14472 KachelY + 1 22922 -0.36662141 -1.01466323 -21.005859 -58.135921
    Unten rechts KachelX + 1 14473 KachelY + 1 22922 -0.36642966 -1.01466323 -20.994873 -58.135921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01456200--1.01466323) × R
    0.000101230000000063 × 6371000     		dl = 644.936330000403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01456200--1.01466323) × R
    0.000101230000000063 × 6371000     		dr = 644.936330000403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36662141--0.36642966) × cos(-1.01456200) × R
    0.000191749999999991 × 0.527991953407826 × 6371000     		do = 645.01569396714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36662141--0.36642966) × cos(-1.01466323) × R
    0.000191749999999991 × 0.527905981188666 × 6371000     		du = 644.910666929805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01456200)-sin(-1.01466323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527991953407826-0.527905981188666)×R²
    abs(-0.36642966--0.36662141)×8.59722191600687e-05×R²
    0.000191749999999991×8.59722191600687e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.59722191600687e-05×40589641000000     		ar = 415960.186939489m²