Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14472 / 22920
↖ ↑ ↗
← S 58.124319°
W 21.005859°		 ← 645.12 m → S 58.124319°
W 20.994873°		 →
↑
645.06 m
↓
↑
645.06 m
↓
S 58.130121°
W 21.005859°		 ← 645.02 m →
416 110 m²		 S 58.130121°
W 20.994873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441665649414062 y=0.699478149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441665649414062 × 215)
    floor (0.441665649414062 × 32768)
    floor (14472.5)     		tx = 14472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699478149414062 × 215)
    floor (0.699478149414062 × 32768)
    floor (22920.5)     		ty = 22920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14472 / 22920 ti = "15/14472/22920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14472/22920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14472 ÷ 215
    14472 ÷ 32768     		x = 0.441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22920 ÷ 215
    22920 ÷ 32768     		y = 0.699462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441650390625 × 2 - 1) × π
    -0.11669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36662141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699462890625 × 2 - 1) × π
    -0.39892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.25326230366675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36662141} λ = -0.36662141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25326230366675))-π/2
    2×atan(0.285571654135908)-π/2
    2×0.278167787106482-π/2
    0.556335574212965-1.57079632675     		φ = -1.01446075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36662141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.005859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01446075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.124319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14472 KachelY 22920 -0.36662141 -1.01446075 -21.005859 -58.124319
    Oben rechts KachelX + 1 14473 KachelY 22920 -0.36642966 -1.01446075 -20.994873 -58.124319
    Unten links KachelX 14472 KachelY + 1 22921 -0.36662141 -1.01456200 -21.005859 -58.130121
    Unten rechts KachelX + 1 14473 KachelY + 1 22921 -0.36642966 -1.01456200 -20.994873 -58.130121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01446075--1.01456200) × R
    0.000101249999999942 × 6371000     		dl = 645.063749999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01446075--1.01456200) × R
    0.000101249999999942 × 6371000     		dr = 645.063749999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36662141--0.36642966) × cos(-1.01446075) × R
    0.000191749999999991 × 0.5280779372003 × 6371000     		do = 645.12073514289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36662141--0.36642966) × cos(-1.01456200) × R
    0.000191749999999991 × 0.527991953407826 × 6371000     		du = 645.01569396714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01446075)-sin(-1.01456200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5280779372003-0.527991953407826)×R²
    abs(-0.36642966--0.36662141)×8.59837924739315e-05×R²
    0.000191749999999991×8.59837924739315e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.59837924739315e-05×40589641000000     		ar = 416110.121841571m²