Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14471 / 22919
↖ ↑ ↗
← S 58.118518°
W 21.016846°		 ← 645.23 m → S 58.118518°
W 21.005859°		 →
↑
645.13 m
↓
↑
645.13 m
↓
S 58.124319°
W 21.016846°		 ← 645.12 m →
416 219 m²		 S 58.124319°
W 21.005859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441635131835938 y=0.699447631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441635131835938 × 215)
    floor (0.441635131835938 × 32768)
    floor (14471.5)     		tx = 14471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699447631835938 × 215)
    floor (0.699447631835938 × 32768)
    floor (22919.5)     		ty = 22919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14471 / 22919 ti = "15/14471/22919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14471/22919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14471 ÷ 215
    14471 ÷ 32768     		x = 0.441619873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22919 ÷ 215
    22919 ÷ 32768     		y = 0.699432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441619873046875 × 2 - 1) × π
    -0.11676025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36681316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.39886474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25307055606827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36681316} λ = -0.36681316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25307055606827))-π/2
    2×atan(0.285626417064945)-π/2
    2×0.278218420066523-π/2
    0.556436840133045-1.57079632675     		φ = -1.01435949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36681316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.016846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01435949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.118518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14471 KachelY 22919 -0.36681316 -1.01435949 -21.016846 -58.118518
    Oben rechts KachelX + 1 14472 KachelY 22919 -0.36662141 -1.01435949 -21.005859 -58.118518
    Unten links KachelX 14471 KachelY + 1 22920 -0.36681316 -1.01446075 -21.016846 -58.124319
    Unten rechts KachelX + 1 14472 KachelY + 1 22920 -0.36662141 -1.01446075 -21.005859 -58.124319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01435949--1.01446075) × R
    0.000101260000000103 × 6371000     		dl = 645.127460000656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01435949--1.01446075) × R
    0.000101260000000103 × 6371000     		dr = 645.127460000656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36681316--0.36662141) × cos(-1.01435949) × R
    0.000191750000000046 × 0.528163924070575 × 6371000     		do = 645.225780078789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36681316--0.36662141) × cos(-1.01446075) × R
    0.000191750000000046 × 0.5280779372003 × 6371000     		du = 645.120735143077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01435949)-sin(-1.01446075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528163924070575-0.5280779372003)×R²
    abs(-0.36662141--0.36681316)×8.59868702745015e-05×R²
    0.000191750000000046×8.59868702745015e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.59868702745015e-05×40589641000000     		ar = 416218.985298618m²