Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14470 / 22182
↖ ↑ ↗
← S 53.579461°
W 21.027832°		 ← 725.26 m → S 53.579461°
W 21.016846°		 →
↑
725.27 m
↓
↑
725.27 m
↓
S 53.585984°
W 21.027832°		 ← 725.15 m →
525 971 m²		 S 53.585984°
W 21.016846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441604614257812 y=0.676956176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441604614257812 × 215)
    floor (0.441604614257812 × 32768)
    floor (14470.5)     		tx = 14470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676956176757812 × 215)
    floor (0.676956176757812 × 32768)
    floor (22182.5)     		ty = 22182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14470 / 22182 ti = "15/14470/22182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14470/22182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14470 ÷ 215
    14470 ÷ 32768     		x = 0.44158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22182 ÷ 215
    22182 ÷ 32768     		y = 0.67694091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.1168212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36700490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67694091796875 × 2 - 1) × π
    -0.3538818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.11175257598834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36700490} λ = -0.36700490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11175257598834))-π/2
    2×atan(0.328981889781619)-π/2
    2×0.317829156151307-π/2
    0.635658312302615-1.57079632675     		φ = -0.93513801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36700490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.027832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93513801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.579461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14470 KachelY 22182 -0.36700490 -0.93513801 -21.027832 -53.579461
    Oben rechts KachelX + 1 14471 KachelY 22182 -0.36681316 -0.93513801 -21.016846 -53.579461
    Unten links KachelX 14470 KachelY + 1 22183 -0.36700490 -0.93525185 -21.027832 -53.585984
    Unten rechts KachelX + 1 14471 KachelY + 1 22183 -0.36681316 -0.93525185 -21.016846 -53.585984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93513801--0.93525185) × R
    0.000113840000000032 × 6371000     		dl = 725.274640000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93513801--0.93525185) × R
    0.000113840000000032 × 6371000     		dr = 725.274640000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36700490--0.36681316) × cos(-0.93513801) × R
    0.000191739999999996 × 0.593707378000488 × 6371000     		do = 725.258410882914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36700490--0.36681316) × cos(-0.93525185) × R
    0.000191739999999996 × 0.593615769265901 × 6371000     		du = 725.146503893492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93513801)-sin(-0.93525185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593707378000488-0.593615769265901)×R²
    abs(-0.36681316--0.36700490)×9.16087345870231e-05×R²
    0.000191739999999996×9.16087345870231e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.16087345870231e-05×40589641000000     		ar = 525970.951777272m²