Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14468 / 22538
↖ ↑ ↗
← S 55.838314°
W 21.049805°		 ← 685.99 m → S 55.838314°
W 21.038818°		 →
↑
685.90 m
↓
↑
685.90 m
↓
S 55.844482°
W 21.049805°		 ← 685.88 m →
470 483 m²		 S 55.844482°
W 21.038818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441543579101562 y=0.687820434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441543579101562 × 215)
    floor (0.441543579101562 × 32768)
    floor (14468.5)     		tx = 14468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687820434570312 × 215)
    floor (0.687820434570312 × 32768)
    floor (22538.5)     		ty = 22538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14468 / 22538 ti = "15/14468/22538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14468/22538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14468 ÷ 215
    14468 ÷ 32768     		x = 0.4415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22538 ÷ 215
    22538 ÷ 32768     		y = 0.68780517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36738840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.3756103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1800147210473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36738840} λ = -0.36738840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1800147210473))-π/2
    2×atan(0.30727421516958)-π/2
    2×0.298116953546088-π/2
    0.596233907092176-1.57079632675     		φ = -0.97456242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36738840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.049805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97456242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.838314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14468 KachelY 22538 -0.36738840 -0.97456242 -21.049805 -55.838314
    Oben rechts KachelX + 1 14469 KachelY 22538 -0.36719665 -0.97456242 -21.038818 -55.838314
    Unten links KachelX 14468 KachelY + 1 22539 -0.36738840 -0.97467008 -21.049805 -55.844482
    Unten rechts KachelX + 1 14469 KachelY + 1 22539 -0.36719665 -0.97467008 -21.038818 -55.844482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97456242--0.97467008) × R
    0.000107659999999954 × 6371000     		dl = 685.901859999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97456242--0.97467008) × R
    0.000107659999999954 × 6371000     		dr = 685.901859999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36738840--0.36719665) × cos(-0.97456242) × R
    0.000191749999999991 × 0.561530185604829 × 6371000     		do = 685.98731479461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36738840--0.36719665) × cos(-0.97467008) × R
    0.000191749999999991 × 0.561441098410544 × 6371000     		du = 685.8784823814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97456242)-sin(-0.97467008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561530185604829-0.561441098410544)×R²
    abs(-0.36719665--0.36738840)×8.90871942846871e-05×R²
    0.000191749999999991×8.90871942846871e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.90871942846871e-05×40589641000000     		ar = 470482.651430583m²