Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14467 / 22911
↖ ↑ ↗
← S 58.072067°
W 21.060791°		 ← 646.07 m → S 58.072067°
W 21.049805°		 →
↑
645.96 m
↓
↑
645.96 m
↓
S 58.077876°
W 21.060791°		 ← 645.96 m →
417 296 m²		 S 58.077876°
W 21.049805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441513061523438 y=0.699203491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441513061523438 × 215)
    floor (0.441513061523438 × 32768)
    floor (14467.5)     		tx = 14467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699203491210938 × 215)
    floor (0.699203491210938 × 32768)
    floor (22911.5)     		ty = 22911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14467 / 22911 ti = "15/14467/22911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14467/22911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14467 ÷ 215
    14467 ÷ 32768     		x = 0.441497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22911 ÷ 215
    22911 ÷ 32768     		y = 0.699188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.11700439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36758015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.39837646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25153657528043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36758015} λ = -0.36758015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25153657528043))-π/2
    2×atan(0.286064898726463)-π/2
    2×0.278623780628082-π/2
    0.557247561256164-1.57079632675     		φ = -1.01354877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36758015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.060791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01354877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.072067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14467 KachelY 22911 -0.36758015 -1.01354877 -21.060791 -58.072067
    Oben rechts KachelX + 1 14468 KachelY 22911 -0.36738840 -1.01354877 -21.049805 -58.072067
    Unten links KachelX 14467 KachelY + 1 22912 -0.36758015 -1.01365016 -21.060791 -58.077876
    Unten rechts KachelX + 1 14468 KachelY + 1 22912 -0.36738840 -1.01365016 -21.049805 -58.077876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01354877--1.01365016) × R
    0.000101389999999979 × 6371000     		dl = 645.955689999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01354877--1.01365016) × R
    0.000101389999999979 × 6371000     		dr = 645.955689999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36758015--0.36738840) × cos(-1.01354877) × R
    0.000191749999999991 × 0.528852167175061 × 6371000     		do = 646.066564868584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36758015--0.36738840) × cos(-1.01365016) × R
    0.000191749999999991 × 0.528766113348559 × 6371000     		du = 645.961438136517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01354877)-sin(-1.01365016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528852167175061-0.528766113348559)×R²
    abs(-0.36738840--0.36758015)×8.60538265017308e-05×R²
    0.000191749999999991×8.60538265017308e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.60538265017308e-05×40589641000000     		ar = 417296.420447637m²