Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14466 / 22563
↖ ↑ ↗
← S 55.992237°
W 21.071777°		 ← 683.23 m → S 55.992237°
W 21.060791°		 →
↑
683.16 m
↓
↑
683.16 m
↓
S 55.998381°
W 21.071777°		 ← 683.12 m →
466 722 m²		 S 55.998381°
W 21.060791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441482543945312 y=0.688583374023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441482543945312 × 215)
    floor (0.441482543945312 × 32768)
    floor (14466.5)     		tx = 14466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688583374023438 × 215)
    floor (0.688583374023438 × 32768)
    floor (22563.5)     		ty = 22563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14466 / 22563 ti = "15/14466/22563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14466/22563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14466 ÷ 215
    14466 ÷ 32768     		x = 0.44146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22563 ÷ 215
    22563 ÷ 32768     		y = 0.688568115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44146728515625 × 2 - 1) × π
    -0.1170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36777189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688568115234375 × 2 - 1) × π
    -0.37713623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18480841100931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36777189} λ = -0.36777189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18480841100931))-π/2
    2×atan(0.30580476271242)-π/2
    2×0.296773720133967-π/2
    0.593547440267933-1.57079632675     		φ = -0.97724889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36777189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.071777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97724889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.992237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14466 KachelY 22563 -0.36777189 -0.97724889 -21.071777 -55.992237
    Oben rechts KachelX + 1 14467 KachelY 22563 -0.36758015 -0.97724889 -21.060791 -55.992237
    Unten links KachelX 14466 KachelY + 1 22564 -0.36777189 -0.97735612 -21.071777 -55.998381
    Unten rechts KachelX + 1 14467 KachelY + 1 22564 -0.36758015 -0.97735612 -21.060791 -55.998381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97724889--0.97735612) × R
    0.000107230000000014 × 6371000     		dl = 683.162330000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97724889--0.97735612) × R
    0.000107230000000014 × 6371000     		dr = 683.162330000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36777189--0.36758015) × cos(-0.97724889) × R
    0.000191739999999996 × 0.55930522556421 × 6371000     		do = 683.233582943407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36777189--0.36758015) × cos(-0.97735612) × R
    0.000191739999999996 × 0.559216332775123 × 6371000     		du = 683.124993686575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97724889)-sin(-0.97735612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55930522556421-0.559216332775123)×R²
    abs(-0.36758015--0.36777189)×8.88927890879687e-05×R²
    0.000191739999999996×8.88927890879687e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.88927890879687e-05×40589641000000     		ar = 466722.354860106m²