Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14462 / 22942
↖ ↑ ↗
← S 58.251727°
W 21.115722°		 ← 642.78 m → S 58.251727°
W 21.104737°		 →
↑
642.77 m
↓
↑
642.77 m
↓
S 58.257508°
W 21.115722°		 ← 642.67 m →
413 125 m²		 S 58.257508°
W 21.104737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441360473632812 y=0.700149536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441360473632812 × 215)
    floor (0.441360473632812 × 32768)
    floor (14462.5)     		tx = 14462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700149536132812 × 215)
    floor (0.700149536132812 × 32768)
    floor (22942.5)     		ty = 22942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14462 / 22942 ti = "15/14462/22942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14462/22942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14462 ÷ 215
    14462 ÷ 32768     		x = 0.44134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22942 ÷ 215
    22942 ÷ 32768     		y = 0.70013427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44134521484375 × 2 - 1) × π
    -0.1173095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36853888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.70013427734375 × 2 - 1) × π
    -0.4002685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.25748075083331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36853888} λ = -0.36853888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25748075083331))-π/2
    2×atan(0.284369522547654)-π/2
    2×0.277055946247048-π/2
    0.554111892494096-1.57079632675     		φ = -1.01668443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36853888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.115722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01668443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.251727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14462 KachelY 22942 -0.36853888 -1.01668443 -21.115722 -58.251727
    Oben rechts KachelX + 1 14463 KachelY 22942 -0.36834714 -1.01668443 -21.104737 -58.251727
    Unten links KachelX 14462 KachelY + 1 22943 -0.36853888 -1.01678532 -21.115722 -58.257508
    Unten rechts KachelX + 1 14463 KachelY + 1 22943 -0.36834714 -1.01678532 -21.104737 -58.257508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01668443--1.01678532) × R
    0.000100890000000131 × 6371000     		dl = 642.770190000836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01668443--1.01678532) × R
    0.000100890000000131 × 6371000     		dr = 642.770190000836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36853888--0.36834714) × cos(-1.01668443) × R
    0.000191739999999996 × 0.52618829319023 × 6371000     		do = 642.77874839552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36853888--0.36834714) × cos(-1.01678532) × R
    0.000191739999999996 × 0.526102496876292 × 6371000     		du = 642.673941716991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01668443)-sin(-1.01678532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52618829319023-0.526102496876292)×R²
    abs(-0.36834714--0.36853888)×8.57963139381246e-05×R²
    0.000191739999999996×8.57963139381246e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.57963139381246e-05×40589641000000     		ar = 413125.335280769m²