Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14459 / 22935
↖ ↑ ↗
← S 58.211238°
W 21.148682°		 ← 643.55 m → S 58.211238°
W 21.137695°		 →
↑
643.53 m
↓
↑
643.53 m
↓
S 58.217025°
W 21.148682°		 ← 643.44 m →
414 111 m²		 S 58.217025°
W 21.137695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441268920898438 y=0.699935913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441268920898438 × 215)
    floor (0.441268920898438 × 32768)
    floor (14459.5)     		tx = 14459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699935913085938 × 215)
    floor (0.699935913085938 × 32768)
    floor (22935.5)     		ty = 22935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14459 / 22935 ti = "15/14459/22935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14459/22935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14459 ÷ 215
    14459 ÷ 32768     		x = 0.441253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22935 ÷ 215
    22935 ÷ 32768     		y = 0.699920654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441253662109375 × 2 - 1) × π
    -0.11749267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36911413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699920654296875 × 2 - 1) × π
    -0.39984130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25613851764395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36911413} λ = -0.36911413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25613851764395))-π/2
    2×atan(0.284751469032141)-π/2
    2×0.277409281519412-π/2
    0.554818563038823-1.57079632675     		φ = -1.01597776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36911413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.148682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01597776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.211238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14459 KachelY 22935 -0.36911413 -1.01597776 -21.148682 -58.211238
    Oben rechts KachelX + 1 14460 KachelY 22935 -0.36892238 -1.01597776 -21.137695 -58.211238
    Unten links KachelX 14459 KachelY + 1 22936 -0.36911413 -1.01607877 -21.148682 -58.217025
    Unten rechts KachelX + 1 14460 KachelY + 1 22936 -0.36892238 -1.01607877 -21.137695 -58.217025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01597776--1.01607877) × R
    0.000101010000000068 × 6371000     		dl = 643.534710000433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01597776--1.01607877) × R
    0.000101010000000068 × 6371000     		dr = 643.534710000433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36911413--0.36892238) × cos(-1.01597776) × R
    0.000191749999999991 × 0.526789091370289 × 6371000     		do = 643.546230489749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36911413--0.36892238) × cos(-1.01607877) × R
    0.000191749999999991 × 0.526703230583894 × 6371000     		du = 643.441339583053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01597776)-sin(-1.01607877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526789091370289-0.526703230583894)×R²
    abs(-0.36892238--0.36911413)×8.58607863947203e-05×R²
    0.000191749999999991×8.58607863947203e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.58607863947203e-05×40589641000000     		ar = 414110.586692814m²