Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14455 / 22587
↖ ↑ ↗
← S 56.139429°
W 21.192627°		 ← 680.67 m → S 56.139429°
W 21.181641°		 →
↑
680.61 m
↓
↑
680.61 m
↓
S 56.145550°
W 21.192627°		 ← 680.56 m →
463 233 m²		 S 56.145550°
W 21.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441146850585938 y=0.689315795898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441146850585938 × 215)
    floor (0.441146850585938 × 32768)
    floor (14455.5)     		tx = 14455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689315795898438 × 215)
    floor (0.689315795898438 × 32768)
    floor (22587.5)     		ty = 22587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14455 / 22587 ti = "15/14455/22587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14455/22587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14455 ÷ 215
    14455 ÷ 32768     		x = 0.441131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22587 ÷ 215
    22587 ÷ 32768     		y = 0.689300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.11773681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36988112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689300537109375 × 2 - 1) × π
    -0.37860107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18941035337283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36988112} λ = -0.36988112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18941035337283))-π/2
    2×atan(0.304400700005673)-π/2
    2×0.295489227958672-π/2
    0.590978455917345-1.57079632675     		φ = -0.97981787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36988112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.192627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97981787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.139429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14455 KachelY 22587 -0.36988112 -0.97981787 -21.192627 -56.139429
    Oben rechts KachelX + 1 14456 KachelY 22587 -0.36968937 -0.97981787 -21.181641 -56.139429
    Unten links KachelX 14455 KachelY + 1 22588 -0.36988112 -0.97992470 -21.192627 -56.145550
    Unten rechts KachelX + 1 14456 KachelY + 1 22588 -0.36968937 -0.97992470 -21.181641 -56.145550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97981787--0.97992470) × R
    0.000106830000000002 × 6371000     		dl = 680.613930000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97981787--0.97992470) × R
    0.000106830000000002 × 6371000     		dr = 680.613930000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36988112--0.36968937) × cos(-0.97981787) × R
    0.000191749999999991 × 0.557173796012878 × 6371000     		do = 680.665378280791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36988112--0.36968937) × cos(-0.97992470) × R
    0.000191749999999991 × 0.557085081638972 × 6371000     		du = 680.557001319589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97981787)-sin(-0.97992470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557173796012878-0.557085081638972)×R²
    abs(-0.36968937--0.36988112)×8.87143739052298e-05×R²
    0.000191749999999991×8.87143739052298e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.87143739052298e-05×40589641000000     		ar = 463233.457132768m²