Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14455 / 21984
↖ ↑ ↗
← S 52.268157°
W 21.192627°		 ← 747.60 m → S 52.268157°
W 21.181641°		 →
↑
747.51 m
↓
↑
747.51 m
↓
S 52.274880°
W 21.192627°		 ← 747.49 m →
558 798 m²		 S 52.274880°
W 21.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441146850585938 y=0.670913696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441146850585938 × 215)
    floor (0.441146850585938 × 32768)
    floor (14455.5)     		tx = 14455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670913696289062 × 215)
    floor (0.670913696289062 × 32768)
    floor (21984.5)     		ty = 21984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14455 / 21984 ti = "15/14455/21984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14455/21984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14455 ÷ 215
    14455 ÷ 32768     		x = 0.441131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21984 ÷ 215
    21984 ÷ 32768     		y = 0.6708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.11773681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36988112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6708984375 × 2 - 1) × π
    -0.341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07378655148926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36988112} λ = -0.36988112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07378655148926))-π/2
    2×atan(0.341712153928733)-π/2
    2×0.329272443345436-π/2
    0.658544886690872-1.57079632675     		φ = -0.91225144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36988112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.192627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91225144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.268157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14455 KachelY 21984 -0.36988112 -0.91225144 -21.192627 -52.268157
    Oben rechts KachelX + 1 14456 KachelY 21984 -0.36968937 -0.91225144 -21.181641 -52.268157
    Unten links KachelX 14455 KachelY + 1 21985 -0.36988112 -0.91236877 -21.192627 -52.274880
    Unten rechts KachelX + 1 14456 KachelY + 1 21985 -0.36968937 -0.91236877 -21.181641 -52.274880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91225144--0.91236877) × R
    0.000117330000000027 × 6371000     		dl = 747.509430000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91225144--0.91236877) × R
    0.000117330000000027 × 6371000     		dr = 747.509430000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36988112--0.36968937) × cos(-0.91225144) × R
    0.000191749999999991 × 0.611966675158383 × 6371000     		do = 747.602510065443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36988112--0.36968937) × cos(-0.91236877) × R
    0.000191749999999991 × 0.611873876579493 × 6371000     		du = 747.489143679128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91225144)-sin(-0.91236877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611966675158383-0.611873876579493)×R²
    abs(-0.36968937--0.36988112)×9.27985788894414e-05×R²
    0.000191749999999991×9.27985788894414e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.27985788894414e-05×40589641000000     		ar = 558797.555585146m²