Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14453 / 22250
↖ ↑ ↗
← S 54.020679°
W 21.214599°		 ← 717.67 m → S 54.020679°
W 21.203614°		 →
↑
717.63 m
↓
↑
717.63 m
↓
S 54.027133°
W 21.214599°		 ← 717.56 m →
514 979 m²		 S 54.027133°
W 21.203614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441085815429688 y=0.679031372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441085815429688 × 215)
    floor (0.441085815429688 × 32768)
    floor (14453.5)     		tx = 14453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679031372070312 × 215)
    floor (0.679031372070312 × 32768)
    floor (22250.5)     		ty = 22250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14453 / 22250 ti = "15/14453/22250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14453/22250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14453 ÷ 215
    14453 ÷ 32768     		x = 0.441070556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22250 ÷ 215
    22250 ÷ 32768     		y = 0.67901611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441070556640625 × 2 - 1) × π
    -0.11785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37026461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67901611328125 × 2 - 1) × π
    -0.3580322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.124791412685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37026461} λ = -0.37026461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.124791412685))-π/2
    2×atan(0.324720192807914)-π/2
    2×0.313978802236795-π/2
    0.627957604473591-1.57079632675     		φ = -0.94283872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37026461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.214599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94283872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.020679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14453 KachelY 22250 -0.37026461 -0.94283872 -21.214599 -54.020679
    Oben rechts KachelX + 1 14454 KachelY 22250 -0.37007287 -0.94283872 -21.203614 -54.020679
    Unten links KachelX 14453 KachelY + 1 22251 -0.37026461 -0.94295136 -21.214599 -54.027133
    Unten rechts KachelX + 1 14454 KachelY + 1 22251 -0.37007287 -0.94295136 -21.203614 -54.027133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94283872--0.94295136) × R
    0.000112639999999997 × 6371000     		dl = 717.629439999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94283872--0.94295136) × R
    0.000112639999999997 × 6371000     		dr = 717.629439999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37026461--0.37007287) × cos(-0.94283872) × R
    0.000191739999999996 × 0.587493220427139 × 6371000     		do = 717.667347989606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37026461--0.37007287) × cos(-0.94295136) × R
    0.000191739999999996 × 0.587402065135934 × 6371000     		du = 717.555994915528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94283872)-sin(-0.94295136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587493220427139-0.587402065135934)×R²
    abs(-0.37007287--0.37026461)×9.11552912052915e-05×R²
    0.000191739999999996×9.11552912052915e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.11552912052915e-05×40589641000000     		ar = 514979.262466992m²