Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14451 / 22925
↖ ↑ ↗
← S 58.153316°
W 21.236572°		 ← 644.60 m → S 58.153316°
W 21.225586°		 →
↑
644.55 m
↓
↑
644.55 m
↓
S 58.159112°
W 21.236572°		 ← 644.49 m →
415 443 m²		 S 58.159112°
W 21.225586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441024780273438 y=0.699630737304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441024780273438 × 215)
    floor (0.441024780273438 × 32768)
    floor (14451.5)     		tx = 14451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699630737304688 × 215)
    floor (0.699630737304688 × 32768)
    floor (22925.5)     		ty = 22925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14451 / 22925 ti = "15/14451/22925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14451/22925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14451 ÷ 215
    14451 ÷ 32768     		x = 0.441009521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22925 ÷ 215
    22925 ÷ 32768     		y = 0.699615478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441009521484375 × 2 - 1) × π
    -0.11798095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37064811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.39923095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.25422104165915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37064811} λ = -0.37064811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25422104165915))-π/2
    2×atan(0.28529799694527)-π/2
    2×0.277914745949184-π/2
    0.555829491898368-1.57079632675     		φ = -1.01496683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37064811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.236572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01496683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.153316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14451 KachelY 22925 -0.37064811 -1.01496683 -21.236572 -58.153316
    Oben rechts KachelX + 1 14452 KachelY 22925 -0.37045636 -1.01496683 -21.225586 -58.153316
    Unten links KachelX 14451 KachelY + 1 22926 -0.37064811 -1.01506800 -21.236572 -58.159112
    Unten rechts KachelX + 1 14452 KachelY + 1 22926 -0.37045636 -1.01506800 -21.225586 -58.159112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01496683--1.01506800) × R
    0.000101169999999984 × 6371000     		dl = 644.554069999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01496683--1.01506800) × R
    0.000101169999999984 × 6371000     		dr = 644.554069999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37064811--0.37045636) × cos(-1.01496683) × R
    0.000191749999999991 × 0.527648108528047 × 6371000     		do = 644.59563956609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37064811--0.37045636) × cos(-1.01506800) × R
    0.000191749999999991 × 0.527562165651074 × 6371000     		du = 644.490648374322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01496683)-sin(-1.01506800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527648108528047-0.527562165651074)×R²
    abs(-0.37045636--0.37064811)×8.59428769733883e-05×R²
    0.000191749999999991×8.59428769733883e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.59428769733883e-05×40589641000000     		ar = 415442.907091526m²