Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14441 / 22014
↖ ↑ ↗
← S 52.469397°
W 21.346435°		 ← 744.17 m → S 52.469397°
W 21.335449°		 →
↑
744.13 m
↓
↑
744.13 m
↓
S 52.476089°
W 21.346435°		 ← 744.05 m →
553 716 m²		 S 52.476089°
W 21.335449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440719604492188 y=0.671829223632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440719604492188 × 215)
    floor (0.440719604492188 × 32768)
    floor (14441.5)     		tx = 14441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671829223632812 × 215)
    floor (0.671829223632812 × 32768)
    floor (22014.5)     		ty = 22014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14441 / 22014 ti = "15/14441/22014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14441/22014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14441 ÷ 215
    14441 ÷ 32768     		x = 0.440704345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22014 ÷ 215
    22014 ÷ 32768     		y = 0.67181396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440704345703125 × 2 - 1) × π
    -0.11859130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37256558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67181396484375 × 2 - 1) × π
    -0.3436279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07953897944366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37256558} λ = -0.37256558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07953897944366))-π/2
    2×atan(0.339752122257456)-π/2
    2×0.327516297685989-π/2
    0.655032595371978-1.57079632675     		φ = -0.91576373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37256558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.346435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91576373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.469397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14441 KachelY 22014 -0.37256558 -0.91576373 -21.346435 -52.469397
    Oben rechts KachelX + 1 14442 KachelY 22014 -0.37237384 -0.91576373 -21.335449 -52.469397
    Unten links KachelX 14441 KachelY + 1 22015 -0.37256558 -0.91588053 -21.346435 -52.476089
    Unten rechts KachelX + 1 14442 KachelY + 1 22015 -0.37237384 -0.91588053 -21.335449 -52.476089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91576373--0.91588053) × R
    0.000116800000000028 × 6371000     		dl = 744.132800000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91576373--0.91588053) × R
    0.000116800000000028 × 6371000     		dr = 744.132800000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37256558--0.37237384) × cos(-0.91576373) × R
    0.000191739999999996 × 0.609185093826434 × 6371000     		do = 744.165609950961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37256558--0.37237384) × cos(-0.91588053) × R
    0.000191739999999996 × 0.609092463992623 × 6371000     		du = 744.052455611702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91576373)-sin(-0.91588053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609185093826434-0.609092463992623)×R²
    abs(-0.37237384--0.37256558)×9.26298338117526e-05×R²
    0.000191739999999996×9.26298338117526e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.26298338117526e-05×40589641000000     		ar = 553715.93869879m²