Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14440 / 22151
↖ ↑ ↗
← S 53.376775°
W 21.357422°		 ← 728.77 m → S 53.376775°
W 21.346435°		 →
↑
728.71 m
↓
↑
728.71 m
↓
S 53.383329°
W 21.357422°		 ← 728.66 m →
531 024 m²		 S 53.383329°
W 21.346435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440689086914062 y=0.676010131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440689086914062 × 215)
    floor (0.440689086914062 × 32768)
    floor (14440.5)     		tx = 14440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676010131835938 × 215)
    floor (0.676010131835938 × 32768)
    floor (22151.5)     		ty = 22151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14440 / 22151 ti = "15/14440/22151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14440/22151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14440 ÷ 215
    14440 ÷ 32768     		x = 0.440673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22151 ÷ 215
    22151 ÷ 32768     		y = 0.675994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440673828125 × 2 - 1) × π
    -0.11865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37275733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675994873046875 × 2 - 1) × π
    -0.35198974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.10580840043546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37275733} λ = -0.37275733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10580840043546))-π/2
    2×atan(0.330943239416413)-π/2
    2×0.319597929701418-π/2
    0.639195859402837-1.57079632675     		φ = -0.93160047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37275733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.357422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93160047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.376775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14440 KachelY 22151 -0.37275733 -0.93160047 -21.357422 -53.376775
    Oben rechts KachelX + 1 14441 KachelY 22151 -0.37256558 -0.93160047 -21.346435 -53.376775
    Unten links KachelX 14440 KachelY + 1 22152 -0.37275733 -0.93171485 -21.357422 -53.383329
    Unten rechts KachelX + 1 14441 KachelY + 1 22152 -0.37256558 -0.93171485 -21.346435 -53.383329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93160047--0.93171485) × R
    0.00011437999999997 × 6371000     		dl = 728.714979999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93160047--0.93171485) × R
    0.00011437999999997 × 6371000     		dr = 728.714979999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37275733--0.37256558) × cos(-0.93160047) × R
    0.000191749999999991 × 0.596550248491262 × 6371000     		do = 728.769198154144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37275733--0.37256558) × cos(-0.93171485) × R
    0.000191749999999991 × 0.596458445977293 × 6371000     		du = 728.65704859983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93160047)-sin(-0.93171485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596550248491262-0.596458445977293)×R²
    abs(-0.37256558--0.37275733)×9.18025139694523e-05×R²
    0.000191749999999991×9.18025139694523e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.18025139694523e-05×40589641000000     		ar = 531024.169706032m²