Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14438 / 22566
↖ ↑ ↗
← S 56.010667°
W 21.379395°		 ← 682.94 m → S 56.010667°
W 21.368408°		 →
↑
682.84 m
↓
↑
682.84 m
↓
S 56.016808°
W 21.379395°		 ← 682.83 m →
466 307 m²		 S 56.016808°
W 21.368408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440628051757812 y=0.688674926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440628051757812 × 215)
    floor (0.440628051757812 × 32768)
    floor (14438.5)     		tx = 14438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688674926757812 × 215)
    floor (0.688674926757812 × 32768)
    floor (22566.5)     		ty = 22566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14438 / 22566 ti = "15/14438/22566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14438/22566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14438 ÷ 215
    14438 ÷ 32768     		x = 0.44061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22566 ÷ 215
    22566 ÷ 32768     		y = 0.68865966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.1187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37314083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68865966796875 × 2 - 1) × π
    -0.3773193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.18538365380475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37314083} λ = -0.37314083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18538365380475))-π/2
    2×atan(0.305628901312209)-π/2
    2×0.296612890334422-π/2
    0.593225780668845-1.57079632675     		φ = -0.97757055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37314083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.379395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97757055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.010667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14438 KachelY 22566 -0.37314083 -0.97757055 -21.379395 -56.010667
    Oben rechts KachelX + 1 14439 KachelY 22566 -0.37294908 -0.97757055 -21.368408 -56.010667
    Unten links KachelX 14438 KachelY + 1 22567 -0.37314083 -0.97767773 -21.379395 -56.016808
    Unten rechts KachelX + 1 14439 KachelY + 1 22567 -0.37294908 -0.97767773 -21.368408 -56.016808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97757055--0.97767773) × R
    0.000107179999999985 × 6371000     		dl = 682.843779999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97757055--0.97767773) × R
    0.000107179999999985 × 6371000     		dr = 682.843779999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37314083--0.37294908) × cos(-0.97757055) × R
    0.000191749999999991 × 0.559038552782153 × 6371000     		do = 682.943438341841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37314083--0.37294908) × cos(-0.97767773) × R
    0.000191749999999991 × 0.558949682167943 × 6371000     		du = 682.834870511351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97757055)-sin(-0.97767773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559038552782153-0.558949682167943)×R²
    abs(-0.37294908--0.37314083)×8.88706142095907e-05×R²
    0.000191749999999991×8.88706142095907e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.88706142095907e-05×40589641000000     		ar = 466306.611975909m²