Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14434 / 22557
↖ ↑ ↗
← S 55.955351°
W 21.423340°		 ← 683.92 m → S 55.955351°
W 21.412354°		 →
↑
683.86 m
↓
↑
683.86 m
↓
S 55.961501°
W 21.423340°		 ← 683.81 m →
467 671 m²		 S 55.961501°
W 21.412354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440505981445312 y=0.688400268554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440505981445312 × 215)
    floor (0.440505981445312 × 32768)
    floor (14434.5)     		tx = 14434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688400268554688 × 215)
    floor (0.688400268554688 × 32768)
    floor (22557.5)     		ty = 22557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14434 / 22557 ti = "15/14434/22557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14434/22557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14434 ÷ 215
    14434 ÷ 32768     		x = 0.44049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22557 ÷ 215
    22557 ÷ 32768     		y = 0.688385009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.1190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37390782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.37677001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18365792541843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37390782} λ = -0.37390782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18365792541843))-π/2
    2×atan(0.306156789147385)-π/2
    2×0.297095609884976-π/2
    0.594191219769953-1.57079632675     		φ = -0.97660511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37390782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.423340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97660511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.955351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14434 KachelY 22557 -0.37390782 -0.97660511 -21.423340 -55.955351
    Oben rechts KachelX + 1 14435 KachelY 22557 -0.37371607 -0.97660511 -21.412354 -55.955351
    Unten links KachelX 14434 KachelY + 1 22558 -0.37390782 -0.97671245 -21.423340 -55.961501
    Unten rechts KachelX + 1 14435 KachelY + 1 22558 -0.37371607 -0.97671245 -21.412354 -55.961501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97660511--0.97671245) × R
    0.0001073399999999 × 6371000     		dl = 683.863139999365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97660511--0.97671245) × R
    0.0001073399999999 × 6371000     		dr = 683.863139999365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37390782--0.37371607) × cos(-0.97660511) × R
    0.000191749999999991 × 0.559838778651711 × 6371000     		do = 683.921025672958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37390782--0.37371607) × cos(-0.97671245) × R
    0.000191749999999991 × 0.55974983333545 × 6371000     		du = 683.81236658351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97660511)-sin(-0.97671245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559838778651711-0.55974983333545)×R²
    abs(-0.37371607--0.37390782)×8.89453162611353e-05×R²
    0.000191749999999991×8.89453162611353e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.89453162611353e-05×40589641000000     		ar = 467671.226604495m²