Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14433 / 22558
↖ ↑ ↗
← S 55.961501°
W 21.434326°		 ← 683.78 m → S 55.961501°
W 21.423340°		 →
↑
683.74 m
↓
↑
683.74 m
↓
S 55.967650°
W 21.434326°		 ← 683.67 m →
467 485 m²		 S 55.967650°
W 21.423340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440475463867188 y=0.688430786132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440475463867188 × 215)
    floor (0.440475463867188 × 32768)
    floor (14433.5)     		tx = 14433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688430786132812 × 215)
    floor (0.688430786132812 × 32768)
    floor (22558.5)     		ty = 22558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14433 / 22558 ti = "15/14433/22558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14433/22558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14433 ÷ 215
    14433 ÷ 32768     		x = 0.440460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22558 ÷ 215
    22558 ÷ 32768     		y = 0.68841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.11907958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37409956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.3768310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18384967301691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37409956} λ = -0.37409956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18384967301691))-π/2
    2×atan(0.306098089946203)-π/2
    2×0.297041940277862-π/2
    0.594083880555723-1.57079632675     		φ = -0.97671245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37409956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.434326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97671245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.961501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14433 KachelY 22558 -0.37409956 -0.97671245 -21.434326 -55.961501
    Oben rechts KachelX + 1 14434 KachelY 22558 -0.37390782 -0.97671245 -21.423340 -55.961501
    Unten links KachelX 14433 KachelY + 1 22559 -0.37409956 -0.97681977 -21.434326 -55.967650
    Unten rechts KachelX + 1 14434 KachelY + 1 22559 -0.37390782 -0.97681977 -21.423340 -55.967650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97671245--0.97681977) × R
    0.000107320000000022 × 6371000     		dl = 683.735720000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97671245--0.97681977) × R
    0.000107320000000022 × 6371000     		dr = 683.735720000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37409956--0.37390782) × cos(-0.97671245) × R
    0.000191739999999996 × 0.55974983333545 × 6371000     		do = 683.776704921647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37409956--0.37390782) × cos(-0.97681977) × R
    0.000191739999999996 × 0.559660898144255 × 6371000     		du = 683.668063867438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97671245)-sin(-0.97681977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55974983333545-0.559660898144255)×R²
    abs(-0.37390782--0.37409956)×8.89351911946834e-05×R²
    0.000191739999999996×8.89351911946834e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.89351911946834e-05×40589641000000     		ar = 467485.417222706m²