Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14432 / 22562
↖ ↑ ↗
← S 55.986091°
W 21.445312°		 ← 683.38 m → S 55.986091°
W 21.434326°		 →
↑
683.35 m
↓
↑
683.35 m
↓
S 55.992237°
W 21.445312°		 ← 683.27 m →
466 951 m²		 S 55.992237°
W 21.434326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440444946289062 y=0.688552856445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440444946289062 × 215)
    floor (0.440444946289062 × 32768)
    floor (14432.5)     		tx = 14432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688552856445312 × 215)
    floor (0.688552856445312 × 32768)
    floor (22562.5)     		ty = 22562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14432 / 22562 ti = "15/14432/22562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14432/22562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14432 ÷ 215
    14432 ÷ 32768     		x = 0.4404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22562 ÷ 215
    22562 ÷ 32768     		y = 0.68853759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4404296875 × 2 - 1) × π
    -0.119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37429131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68853759765625 × 2 - 1) × π
    -0.3770751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18461666341083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37429131} λ = -0.37429131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18461666341083))-π/2
    2×atan(0.305863405663417)-π/2
    2×0.296827347112979-π/2
    0.593654694225959-1.57079632675     		φ = -0.97714163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37429131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.445312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97714163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.986091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14432 KachelY 22562 -0.37429131 -0.97714163 -21.445312 -55.986091
    Oben rechts KachelX + 1 14433 KachelY 22562 -0.37409956 -0.97714163 -21.434326 -55.986091
    Unten links KachelX 14432 KachelY + 1 22563 -0.37429131 -0.97724889 -21.445312 -55.992237
    Unten rechts KachelX + 1 14433 KachelY + 1 22563 -0.37409956 -0.97724889 -21.434326 -55.992237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97714163--0.97724889) × R
    0.000107260000000053 × 6371000     		dl = 683.35346000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97714163--0.97724889) × R
    0.000107260000000053 × 6371000     		dr = 683.35346000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37429131--0.37409956) × cos(-0.97714163) × R
    0.000191749999999991 × 0.559394136789309 × 6371000     		do = 683.377833721655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37429131--0.37409956) × cos(-0.97724889) × R
    0.000191749999999991 × 0.55930522556421 × 6371000     		du = 683.269216279309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97714163)-sin(-0.97724889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559394136789309-0.55930522556421)×R²
    abs(-0.37409956--0.37429131)×8.89112250981317e-05×R²
    0.000191749999999991×8.89112250981317e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.89112250981317e-05×40589641000000     		ar = 466951.495556327m²