Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14429 / 22196
↖ ↑ ↗
← S 53.670680°
W 21.478272°		 ← 723.73 m → S 53.670680°
W 21.467285°		 →
↑
723.68 m
↓
↑
723.68 m
↓
S 53.677188°
W 21.478272°		 ← 723.62 m →
523 710 m²		 S 53.677188°
W 21.467285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440353393554688 y=0.677383422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440353393554688 × 215)
    floor (0.440353393554688 × 32768)
    floor (14429.5)     		tx = 14429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677383422851562 × 215)
    floor (0.677383422851562 × 32768)
    floor (22196.5)     		ty = 22196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14429 / 22196 ti = "15/14429/22196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14429/22196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14429 ÷ 215
    14429 ÷ 32768     		x = 0.440338134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22196 ÷ 215
    22196 ÷ 32768     		y = 0.6773681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440338134765625 × 2 - 1) × π
    -0.11932373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37486656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.354736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.11443704236707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37486656} λ = -0.37486656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11443704236707))-π/2
    2×atan(0.328099933280221)-π/2
    2×0.317033122826381-π/2
    0.634066245652762-1.57079632675     		φ = -0.93673008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37486656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.478272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93673008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.670680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14429 KachelY 22196 -0.37486656 -0.93673008 -21.478272 -53.670680
    Oben rechts KachelX + 1 14430 KachelY 22196 -0.37467481 -0.93673008 -21.467285 -53.670680
    Unten links KachelX 14429 KachelY + 1 22197 -0.37486656 -0.93684367 -21.478272 -53.677188
    Unten rechts KachelX + 1 14430 KachelY + 1 22197 -0.37467481 -0.93684367 -21.467285 -53.677188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93673008--0.93684367) × R
    0.000113589999999997 × 6371000     		dl = 723.681889999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93673008--0.93684367) × R
    0.000113589999999997 × 6371000     		dr = 723.681889999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37486656--0.37467481) × cos(-0.93673008) × R
    0.000191749999999991 × 0.592425517593882 × 6371000     		do = 723.730264994217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37486656--0.37467481) × cos(-0.93684367) × R
    0.000191749999999991 × 0.592334002802623 × 6371000     		du = 723.618466933258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93673008)-sin(-0.93684367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592425517593882-0.592334002802623)×R²
    abs(-0.37467481--0.37486656)×9.15147912595726e-05×R²
    0.000191749999999991×9.15147912595726e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.15147912595726e-05×40589641000000     		ar = 523710.033468496m²