Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14425 / 22399
↖ ↑ ↗
← S 54.971308°
W 21.522217°		 ← 701.20 m → S 54.971308°
W 21.511231°		 →
↑
701.13 m
↓
↑
701.13 m
↓
S 54.977613°
W 21.522217°		 ← 701.09 m →
491 596 m²		 S 54.977613°
W 21.511231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440231323242188 y=0.683578491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440231323242188 × 215)
    floor (0.440231323242188 × 32768)
    floor (14425.5)     		tx = 14425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683578491210938 × 215)
    floor (0.683578491210938 × 32768)
    floor (22399.5)     		ty = 22399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14425 / 22399 ti = "15/14425/22399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14425/22399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14425 ÷ 215
    14425 ÷ 32768     		x = 0.440216064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22399 ÷ 215
    22399 ÷ 32768     		y = 0.683563232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440216064453125 × 2 - 1) × π
    -0.11956787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37563355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683563232421875 × 2 - 1) × π
    -0.36712646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15336180485855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37563355} λ = -0.37563355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15336180485855))-π/2
    2×atan(0.315574085617921)-π/2
    2×0.305683002638241-π/2
    0.611366005276482-1.57079632675     		φ = -0.95943032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37563355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.522217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95943032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.971308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14425 KachelY 22399 -0.37563355 -0.95943032 -21.522217 -54.971308
    Oben rechts KachelX + 1 14426 KachelY 22399 -0.37544180 -0.95943032 -21.511231 -54.971308
    Unten links KachelX 14425 KachelY + 1 22400 -0.37563355 -0.95954037 -21.522217 -54.977613
    Unten rechts KachelX + 1 14426 KachelY + 1 22400 -0.37544180 -0.95954037 -21.511231 -54.977613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95943032--0.95954037) × R
    0.000110050000000084 × 6371000     		dl = 701.128550000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95943032--0.95954037) × R
    0.000110050000000084 × 6371000     		dr = 701.128550000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37563355--0.37544180) × cos(-0.95943032) × R
    0.000191749999999991 × 0.573986570036106 × 6371000     		do = 701.204522928946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37563355--0.37544180) × cos(-0.95954037) × R
    0.000191749999999991 × 0.573896450498898 × 6371000     		du = 701.094429365101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95943032)-sin(-0.95954037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573986570036106-0.573896450498898)×R²
    abs(-0.37544180--0.37563355)×9.01195372078334e-05×R²
    0.000191749999999991×9.01195372078334e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.01195372078334e-05×40589641000000     		ar = 491595.916040837m²