Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14425 / 22179
↖ ↑ ↗
← S 53.559889°
W 21.522217°		 ← 725.63 m → S 53.559889°
W 21.511231°		 →
↑
725.59 m
↓
↑
725.59 m
↓
S 53.566414°
W 21.522217°		 ← 725.52 m →
526 473 m²		 S 53.566414°
W 21.511231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440231323242188 y=0.676864624023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440231323242188 × 215)
    floor (0.440231323242188 × 32768)
    floor (14425.5)     		tx = 14425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676864624023438 × 215)
    floor (0.676864624023438 × 32768)
    floor (22179.5)     		ty = 22179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14425 / 22179 ti = "15/14425/22179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14425/22179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14425 ÷ 215
    14425 ÷ 32768     		x = 0.440216064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22179 ÷ 215
    22179 ÷ 32768     		y = 0.676849365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440216064453125 × 2 - 1) × π
    -0.11956787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37563355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676849365234375 × 2 - 1) × π
    -0.35369873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1111773331929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37563355} λ = -0.37563355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1111773331929))-π/2
    2×atan(0.329171188684742)-π/2
    2×0.317999958620913-π/2
    0.635999917241825-1.57079632675     		φ = -0.93479641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37563355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.522217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93479641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.559889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14425 KachelY 22179 -0.37563355 -0.93479641 -21.522217 -53.559889
    Oben rechts KachelX + 1 14426 KachelY 22179 -0.37544180 -0.93479641 -21.511231 -53.559889
    Unten links KachelX 14425 KachelY + 1 22180 -0.37563355 -0.93491030 -21.522217 -53.566414
    Unten rechts KachelX + 1 14426 KachelY + 1 22180 -0.37544180 -0.93491030 -21.511231 -53.566414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93479641--0.93491030) × R
    0.00011388999999995 × 6371000     		dl = 725.593189999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93479641--0.93491030) × R
    0.00011388999999995 × 6371000     		dr = 725.593189999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37563355--0.37544180) × cos(-0.93479641) × R
    0.000191749999999991 × 0.593982222392688 × 6371000     		do = 725.631996677101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37563355--0.37544180) × cos(-0.93491030) × R
    0.000191749999999991 × 0.593890596522316 × 6371000     		du = 725.520062917538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93479641)-sin(-0.93491030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593982222392688-0.593890596522316)×R²
    abs(-0.37544180--0.37563355)×9.16258703728134e-05×R²
    0.000191749999999991×9.16258703728134e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.16258703728134e-05×40589641000000     		ar = 526473.026617252m²