Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14421 / 22131
↖ ↑ ↗
← S 53.245495°
W 21.566162°		 ← 731.01 m → S 53.245495°
W 21.555176°		 →
↑
730.94 m
↓
↑
730.94 m
↓
S 53.252069°
W 21.566162°		 ← 730.90 m →
534 290 m²		 S 53.252069°
W 21.555176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440109252929688 y=0.675399780273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440109252929688 × 215)
    floor (0.440109252929688 × 32768)
    floor (14421.5)     		tx = 14421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675399780273438 × 215)
    floor (0.675399780273438 × 32768)
    floor (22131.5)     		ty = 22131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14421 / 22131 ti = "15/14421/22131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14421/22131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14421 ÷ 215
    14421 ÷ 32768     		x = 0.440093994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22131 ÷ 215
    22131 ÷ 32768     		y = 0.675384521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440093994140625 × 2 - 1) × π
    -0.11981201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37640054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675384521484375 × 2 - 1) × π
    -0.35076904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.10197344846585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37640054} λ = -0.37640054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10197344846585))-π/2
    2×atan(0.33221482752548)-π/2
    2×0.320743561611652-π/2
    0.641487123223304-1.57079632675     		φ = -0.92930920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37640054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.566162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92930920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.245495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14421 KachelY 22131 -0.37640054 -0.92930920 -21.566162 -53.245495
    Oben rechts KachelX + 1 14422 KachelY 22131 -0.37620879 -0.92930920 -21.555176 -53.245495
    Unten links KachelX 14421 KachelY + 1 22132 -0.37640054 -0.92942393 -21.566162 -53.252069
    Unten rechts KachelX + 1 14422 KachelY + 1 22132 -0.37620879 -0.92942393 -21.555176 -53.252069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92930920--0.92942393) × R
    0.000114730000000063 × 6371000     		dl = 730.9448300004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92930920--0.92942393) × R
    0.000114730000000063 × 6371000     		dr = 730.9448300004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37640054--0.37620879) × cos(-0.92930920) × R
    0.000191749999999991 × 0.598387598653849 × 6371000     		do = 731.013777228753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37640054--0.37620879) × cos(-0.92942393) × R
    0.000191749999999991 × 0.598295672263515 × 6371000     		du = 730.90147634221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92930920)-sin(-0.92942393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598387598653849-0.598295672263515)×R²
    abs(-0.37620879--0.37640054)×9.19263903338408e-05×R²
    0.000191749999999991×9.19263903338408e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.19263903338408e-05×40589641000000     		ar = 534289.698834422m²