Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14421 / 22125
↖ ↑ ↗
← S 53.206033°
W 21.566162°		 ← 731.69 m → S 53.206033°
W 21.555176°		 →
↑
731.65 m
↓
↑
731.65 m
↓
S 53.212612°
W 21.566162°		 ← 731.58 m →
535 295 m²		 S 53.212612°
W 21.555176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440109252929688 y=0.675216674804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440109252929688 × 215)
    floor (0.440109252929688 × 32768)
    floor (14421.5)     		tx = 14421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675216674804688 × 215)
    floor (0.675216674804688 × 32768)
    floor (22125.5)     		ty = 22125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14421 / 22125 ti = "15/14421/22125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14421/22125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14421 ÷ 215
    14421 ÷ 32768     		x = 0.440093994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22125 ÷ 215
    22125 ÷ 32768     		y = 0.675201416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440093994140625 × 2 - 1) × π
    -0.11981201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37640054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675201416015625 × 2 - 1) × π
    -0.35040283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10082296287497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37640054} λ = -0.37640054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10082296287497))-π/2
    2×atan(0.332597255844578)-π/2
    2×0.321087938432709-π/2
    0.642175876865418-1.57079632675     		φ = -0.92862045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37640054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.566162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92862045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.206033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14421 KachelY 22125 -0.37640054 -0.92862045 -21.566162 -53.206033
    Oben rechts KachelX + 1 14422 KachelY 22125 -0.37620879 -0.92862045 -21.555176 -53.206033
    Unten links KachelX 14421 KachelY + 1 22126 -0.37640054 -0.92873529 -21.566162 -53.212612
    Unten rechts KachelX + 1 14422 KachelY + 1 22126 -0.37620879 -0.92873529 -21.555176 -53.212612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92862045--0.92873529) × R
    0.000114839999999949 × 6371000     		dl = 731.645639999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92862045--0.92873529) × R
    0.000114839999999949 × 6371000     		dr = 731.645639999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37640054--0.37620879) × cos(-0.92862045) × R
    0.000191749999999991 × 0.598939287839735 × 6371000     		do = 731.687742392032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37640054--0.37620879) × cos(-0.92873529) × R
    0.000191749999999991 × 0.59884732065738 × 6371000     		du = 731.575391672355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92862045)-sin(-0.92873529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598939287839735-0.59884732065738)×R²
    abs(-0.37620879--0.37640054)×9.19671823553792e-05×R²
    0.000191749999999991×9.19671823553792e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.19671823553792e-05×40589641000000     		ar = 535295.046693608m²