Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14411 / 22405
↖ ↑ ↗
← S 55.009126°
W 21.676025°		 ← 700.54 m → S 55.009126°
W 21.665039°		 →
↑
700.49 m
↓
↑
700.49 m
↓
S 55.015426°
W 21.676025°		 ← 700.43 m →
490 687 m²		 S 55.015426°
W 21.665039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439804077148438 y=0.683761596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439804077148438 × 215)
    floor (0.439804077148438 × 32768)
    floor (14411.5)     		tx = 14411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683761596679688 × 215)
    floor (0.683761596679688 × 32768)
    floor (22405.5)     		ty = 22405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14411 / 22405 ti = "15/14411/22405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14411/22405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14411 ÷ 215
    14411 ÷ 32768     		x = 0.439788818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22405 ÷ 215
    22405 ÷ 32768     		y = 0.683746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439788818359375 × 2 - 1) × π
    -0.12042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37831801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683746337890625 × 2 - 1) × π
    -0.36749267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15451229044943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37831801} λ = -0.37831801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15451229044943))-π/2
    2×atan(0.31521123094912)-π/2
    2×0.305352976505752-π/2
    0.610705953011503-1.57079632675     		φ = -0.96009037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37831801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.676025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96009037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.009126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14411 KachelY 22405 -0.37831801 -0.96009037 -21.676025 -55.009126
    Oben rechts KachelX + 1 14412 KachelY 22405 -0.37812626 -0.96009037 -21.665039 -55.009126
    Unten links KachelX 14411 KachelY + 1 22406 -0.37831801 -0.96020032 -21.676025 -55.015426
    Unten rechts KachelX + 1 14412 KachelY + 1 22406 -0.37812626 -0.96020032 -21.665039 -55.015426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96009037--0.96020032) × R
    0.000109950000000025 × 6371000     		dl = 700.491450000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96009037--0.96020032) × R
    0.000109950000000025 × 6371000     		dr = 700.491450000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37831801--0.37812626) × cos(-0.96009037) × R
    0.000191749999999991 × 0.573445953388637 × 6371000     		do = 700.544084413194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37831801--0.37812626) × cos(-0.96020032) × R
    0.000191749999999991 × 0.573355874111458 × 6371000     		du = 700.434040032581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96009037)-sin(-0.96020032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573445953388637-0.573355874111458)×R²
    abs(-0.37812626--0.37831801)×9.00792771788561e-05×R²
    0.000191749999999991×9.00792771788561e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.00792771788561e-05×40589641000000     		ar = 490686.599400305m²