Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14408 / 21950
↖ ↑ ↗
← S 52.038977°
W 21.708984°		 ← 751.42 m → S 52.038977°
W 21.697998°		 →
↑
751.40 m
↓
↑
751.40 m
↓
S 52.045734°
W 21.708984°		 ← 751.31 m →
564 573 m²		 S 52.045734°
W 21.697998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439712524414062 y=0.669876098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439712524414062 × 215)
    floor (0.439712524414062 × 32768)
    floor (14408.5)     		tx = 14408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669876098632812 × 215)
    floor (0.669876098632812 × 32768)
    floor (21950.5)     		ty = 21950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14408 / 21950 ti = "15/14408/21950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14408/21950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14408 ÷ 215
    14408 ÷ 32768     		x = 0.439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21950 ÷ 215
    21950 ÷ 32768     		y = 0.66986083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.12060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37889325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66986083984375 × 2 - 1) × π
    -0.3397216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06726713314093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37889325} λ = -0.37889325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06726713314093))-π/2
    2×atan(0.343947196086035)-π/2
    2×0.331272423035376-π/2
    0.662544846070752-1.57079632675     		φ = -0.90825148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37889325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.708984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90825148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.038977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14408 KachelY 21950 -0.37889325 -0.90825148 -21.708984 -52.038977
    Oben rechts KachelX + 1 14409 KachelY 21950 -0.37870151 -0.90825148 -21.697998 -52.038977
    Unten links KachelX 14408 KachelY + 1 21951 -0.37889325 -0.90836942 -21.708984 -52.045734
    Unten rechts KachelX + 1 14409 KachelY + 1 21951 -0.37870151 -0.90836942 -21.697998 -52.045734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90825148--0.90836942) × R
    0.000117939999999983 × 6371000     		dl = 751.395739999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90825148--0.90836942) × R
    0.000117939999999983 × 6371000     		dr = 751.395739999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37889325--0.37870151) × cos(-0.90825148) × R
    0.000191739999999996 × 0.615125273655304 × 6371000     		do = 751.421988333109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37889325--0.37870151) × cos(-0.90836942) × R
    0.000191739999999996 × 0.615032282015511 × 6371000     		du = 751.308392020514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90825148)-sin(-0.90836942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615125273655304-0.615032282015511)×R²
    abs(-0.37870151--0.37889325)×9.29916397923725e-05×R²
    0.000191739999999996×9.29916397923725e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.29916397923725e-05×40589641000000     		ar = 564572.603737301m²