Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14397 / 22427
↖ ↑ ↗
← S 55.147489°
W 21.829834°		 ← 698.13 m → S 55.147489°
W 21.818848°		 →
↑
698.07 m
↓
↑
698.07 m
↓
S 55.153766°
W 21.829834°		 ← 698.02 m →
487 302 m²		 S 55.153766°
W 21.818848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439376831054688 y=0.684432983398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439376831054688 × 215)
    floor (0.439376831054688 × 32768)
    floor (14397.5)     		tx = 14397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684432983398438 × 215)
    floor (0.684432983398438 × 32768)
    floor (22427.5)     		ty = 22427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14397 / 22427 ti = "15/14397/22427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14397/22427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14397 ÷ 215
    14397 ÷ 32768     		x = 0.439361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22427 ÷ 215
    22427 ÷ 32768     		y = 0.684417724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439361572265625 × 2 - 1) × π
    -0.12127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38100248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.36883544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.158730737616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38100248} λ = -0.38100248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.158730737616))-π/2
    2×atan(0.313884329724126)-π/2
    2×0.304145539573779-π/2
    0.608291079147558-1.57079632675     		φ = -0.96250525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38100248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.829834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96250525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.147489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14397 KachelY 22427 -0.38100248 -0.96250525 -21.829834 -55.147489
    Oben rechts KachelX + 1 14398 KachelY 22427 -0.38081073 -0.96250525 -21.818848 -55.147489
    Unten links KachelX 14397 KachelY + 1 22428 -0.38100248 -0.96261482 -21.829834 -55.153766
    Unten rechts KachelX + 1 14398 KachelY + 1 22428 -0.38081073 -0.96261482 -21.818848 -55.153766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96250525--0.96261482) × R
    0.000109570000000003 × 6371000     		dl = 698.070470000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96250525--0.96261482) × R
    0.000109570000000003 × 6371000     		dr = 698.070470000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38100248--0.38081073) × cos(-0.96250525) × R
    0.000191749999999991 × 0.571465908758381 × 6371000     		do = 698.125184176122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38100248--0.38081073) × cos(-0.96261482) × R
    0.000191749999999991 × 0.571375989358495 × 6371000     		du = 698.015335107886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96250525)-sin(-0.96261482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571465908758381-0.571375989358495)×R²
    abs(-0.38081073--0.38100248)×8.99193998852299e-05×R²
    0.000191749999999991×8.99193998852299e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.99193998852299e-05×40589641000000     		ar = 487302.234728418m²