Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14395 / 22170
↖ ↑ ↗
← S 53.501117°
W 21.851806°		 ← 726.60 m → S 53.501117°
W 21.840821°		 →
↑
726.55 m
↓
↑
726.55 m
↓
S 53.507651°
W 21.851806°		 ← 726.49 m →
527 871 m²		 S 53.507651°
W 21.840821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439315795898438 y=0.676589965820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439315795898438 × 215)
    floor (0.439315795898438 × 32768)
    floor (14395.5)     		tx = 14395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676589965820312 × 215)
    floor (0.676589965820312 × 32768)
    floor (22170.5)     		ty = 22170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14395 / 22170 ti = "15/14395/22170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14395/22170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14395 ÷ 215
    14395 ÷ 32768     		x = 0.439300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22170 ÷ 215
    22170 ÷ 32768     		y = 0.67657470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439300537109375 × 2 - 1) × π
    -0.12139892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38138597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.3531494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10945160480658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38138597} λ = -0.38138597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10945160480658))-π/2
    2×atan(0.329739739189785)-π/2
    2×0.318512840459774-π/2
    0.637025680919547-1.57079632675     		φ = -0.93377065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38138597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.851806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93377065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.501117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14395 KachelY 22170 -0.38138597 -0.93377065 -21.851806 -53.501117
    Oben rechts KachelX + 1 14396 KachelY 22170 -0.38119423 -0.93377065 -21.840821 -53.501117
    Unten links KachelX 14395 KachelY + 1 22171 -0.38138597 -0.93388469 -21.851806 -53.507651
    Unten rechts KachelX + 1 14396 KachelY + 1 22171 -0.38119423 -0.93388469 -21.840821 -53.507651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93377065--0.93388469) × R
    0.000114039999999926 × 6371000     		dl = 726.548839999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93377065--0.93388469) × R
    0.000114039999999926 × 6371000     		dr = 726.548839999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38138597--0.38119423) × cos(-0.93377065) × R
    0.000191739999999996 × 0.594807111282335 × 6371000     		do = 726.601818160542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38138597--0.38119423) × cos(-0.93388469) × R
    0.000191739999999996 × 0.594715434255629 × 6371000     		du = 726.489827747139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93377065)-sin(-0.93388469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594807111282335-0.594715434255629)×R²
    abs(-0.38119423--0.38138597)×9.16770267054279e-05×R²
    0.000191739999999996×9.16770267054279e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.16770267054279e-05×40589641000000     		ar = 527871.025446182m²