Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14386 / 22578
↖ ↑ ↗
← S 56.084297°
W 21.950683°		 ← 681.64 m → S 56.084297°
W 21.939697°		 →
↑
681.57 m
↓
↑
681.57 m
↓
S 56.090427°
W 21.950683°		 ← 681.53 m →
464 549 m²		 S 56.090427°
W 21.939697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439041137695312 y=0.689041137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439041137695312 × 215)
    floor (0.439041137695312 × 32768)
    floor (14386.5)     		tx = 14386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689041137695312 × 215)
    floor (0.689041137695312 × 32768)
    floor (22578.5)     		ty = 22578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14386 / 22578 ti = "15/14386/22578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14386/22578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14386 ÷ 215
    14386 ÷ 32768     		x = 0.43902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22578 ÷ 215
    22578 ÷ 32768     		y = 0.68902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.1219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38311170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.3780517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18768462498651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38311170} λ = -0.38311170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18768462498651))-π/2
    2×atan(0.30492646646906)-π/2
    2×0.295970337843819-π/2
    0.591940675687638-1.57079632675     		φ = -0.97885565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38311170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.950683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97885565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.084297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14386 KachelY 22578 -0.38311170 -0.97885565 -21.950683 -56.084297
    Oben rechts KachelX + 1 14387 KachelY 22578 -0.38291995 -0.97885565 -21.939697 -56.084297
    Unten links KachelX 14386 KachelY + 1 22579 -0.38311170 -0.97896263 -21.950683 -56.090427
    Unten rechts KachelX + 1 14387 KachelY + 1 22579 -0.38291995 -0.97896263 -21.939697 -56.090427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97885565--0.97896263) × R
    0.000106979999999979 × 6371000     		dl = 681.569579999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97885565--0.97896263) × R
    0.000106979999999979 × 6371000     		dr = 681.569579999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38311170--0.38291995) × cos(-0.97885565) × R
    0.000191749999999991 × 0.557972561503958 × 6371000     		do = 681.64118155624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38311170--0.38291995) × cos(-0.97896263) × R
    0.000191749999999991 × 0.557883779952799 × 6371000     		du = 681.532722528668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97885565)-sin(-0.97896263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557972561503958-0.557883779952799)×R²
    abs(-0.38291995--0.38311170)×8.87815511589896e-05×R²
    0.000191749999999991×8.87815511589896e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.87815511589896e-05×40589641000000     		ar = 464548.933080008m²