Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14384 / 22223
↖ ↑ ↗
← S 53.846046°
W 21.972656°		 ← 720.71 m → S 53.846046°
W 21.961670°		 →
↑
720.62 m
↓
↑
720.62 m
↓
S 53.852527°
W 21.972656°		 ← 720.60 m →
519 324 m²		 S 53.852527°
W 21.961670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438980102539062 y=0.678207397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438980102539062 × 215)
    floor (0.438980102539062 × 32768)
    floor (14384.5)     		tx = 14384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678207397460938 × 215)
    floor (0.678207397460938 × 32768)
    floor (22223.5)     		ty = 22223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14384 / 22223 ti = "15/14384/22223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14384/22223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14384 ÷ 215
    14384 ÷ 32768     		x = 0.43896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22223 ÷ 215
    22223 ÷ 32768     		y = 0.678192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43896484375 × 2 - 1) × π
    -0.1220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38349520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678192138671875 × 2 - 1) × π
    -0.35638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.11961422752603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38349520} λ = -0.38349520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11961422752603))-π/2
    2×atan(0.326405688668285)-π/2
    2×0.315502770596248-π/2
    0.631005541192495-1.57079632675     		φ = -0.93979079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38349520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.972656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93979079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.846046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14384 KachelY 22223 -0.38349520 -0.93979079 -21.972656 -53.846046
    Oben rechts KachelX + 1 14385 KachelY 22223 -0.38330345 -0.93979079 -21.961670 -53.846046
    Unten links KachelX 14384 KachelY + 1 22224 -0.38349520 -0.93990390 -21.972656 -53.852527
    Unten rechts KachelX + 1 14385 KachelY + 1 22224 -0.38330345 -0.93990390 -21.961670 -53.852527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93979079--0.93990390) × R
    0.000113110000000027 × 6371000     		dl = 720.623810000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93979079--0.93990390) × R
    0.000113110000000027 × 6371000     		dr = 720.623810000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38349520--0.38330345) × cos(-0.93979079) × R
    0.000191749999999991 × 0.589956961352887 × 6371000     		do = 720.714579799385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38349520--0.38330345) × cos(-0.93990390) × R
    0.000191749999999991 × 0.58986562864102 × 6371000     		du = 720.603004173758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93979079)-sin(-0.93990390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589956961352887-0.58986562864102)×R²
    abs(-0.38330345--0.38349520)×9.13327118678975e-05×R²
    0.000191749999999991×9.13327118678975e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.13327118678975e-05×40589641000000     		ar = 519323.884945248m²